Trentesima lezione: Calcolabilità e Trattabilità, riepilogo ed esercizi sul capitolo ottavo

Questo blog si riferisce alla lezione che ho tenuto mercoledì 10 dicembre.

Nella lezione ho spiegato cosa è la Tesi di Church: "Ogni funzione calcolabile è calcolabile da una Macchina di Turing". Ho fatto vedere come l'inverso di questa affermazione ("Ogni funzione calcolabile da una Macchina di Turing è calcolabile") è ovviamente vera, e ho spiegato che la Tesi di Church è ritenuta vera dalla comunità scientifica (ed è alla base dell'informatica) e non ha mai trovato una refutazione (non è mai stata trovata una funzione calcolabile che non possa essere calcolata da una macchina di Turing). Ho spiegato anche perché non possa essere trovata una "dimostrazione" della Tesi di Church: essa richiederebbe di conoscere cosa sia una funzione calcolabile "generica", ma è proprio per capire cosa sia una funzione calcolabile "generica" è stato introdotto il concetto di Macchina di Turing...

Nella lezione ho trattato anche il concetto di funzione "trattabile" : funzione che non solo è calcolabile, ma ha ache almeno un programma che viene eseguito in "tempo polinomiale" (ossia non in "tempo esponenziale").

Ho slegato inoltre il concetto di macchina "deterministica" (una macchina di Turing che non ha due istruzioni diverse con lo stessa condizione) e di macchina "non-deterministica" (una macchina di Turing che ha istruzioni diverse con la stessa condizione).

E ho spiegato cosa siano le classi P e NP (entrambe sono classi di funzioni "trattabili", P è la classe delle funzioni che sono calcolabili in tempo polinomiale con macchina di Turing deterministica, NP è la classe delle funzioni che sono calcolabili in tempo polinomiale con macchina di Turing non-deterministica).

Ho mostrato infine come sia ovvio che P è inclusa in in NP, e ho spiegato che è un problema ancora aperto quello se NP sia inclusa in P. Dunque è aperto il problema "P=NP?".

Ventinovesima lezione: Macchina di Turing

Questo blog si riferisce alla lezione che ho tenuto martedì 9 dicembre.

Nella lezione ho continuato la spiegazione sulla macchina di Turing: istruzione per una macchina di Turing, programma di una macchina di Turing (un insieme finito di istruzioni tale che almeno una istruzione comincia con lo stato iniziale, almeno una istruzione termina con lo stato finale e ogni stato compare in almeno una istruzione), configurazione di una macchina di Turing, computazione di una macchina di Turing.

Ho spiegato che ogni macchina di Turing si identifica con il suo programma: ossia, due Macchine di Turing che hanno uguale programma sono uguali.

Ho spiegato anche cosa vuol dire che una funzione numerica è calcolata da macchina di Turing.

Ventottesima lezione: esercizi e approfondimenti sul capitolo settimo, continuazione della spiegazione della Macchina di Turing

Questo blog si riferisce alla lezione che ho tenuto sabato 6 dicembre.

Nella prima parte della lezione ho fatto un riepilogo del capitolo 7 (trascurando la parte relativa all'algebra booleana e ai connettivi n-ari), e ho svolto alcuni esercizi:
- come scrivere in base 2 (ossia come successione finita di bit) un dato numero naturale; ad esempio "trentanove" in base 2 è la successione finita di bit 100111;
- qual è il numero rappresentato da una data successione finita di bit; ad esempio, la successione finita di bit 111010 è il numero "sessanta".

Nella seconda parte della lezione ho continuato la spiegazione del concetto di macchina di Turing: il puntatore della macchina, gli stati della macchina (un insieme finito, che contiene almeno lo stato iniziale e lo stato finale), le azioni che la macchina sa compiere.

Ventisettesima lezione: la codificazione dei testi, la Macchina di Turing

Questo blog si riferisce alla lezione che ho tenuto giovedì 4 dicembre.

Nella prima parte della lezione ho spiegato perché ogni testo può essere codificato mediante un numero che poi viene rappresentato in base 2 come successione finita di bit. In sintesi:
- un testo è una successione finita di caratteri, costruito utilizzando un "alfabeto" finito (i caratteri che corrispondono ai tasti di una tastiera) e questo "alfabeto" può essere codificato (ad esempio, attraverso i codici ASCII),
- pertanto un testo (codificato l'alfabeto) diviene una successione finita di numeri naturali,
- per un importante teorema matematico, è possibile dare una codificazione delle successioni finite di numeri naturali (ossia è possibile rappresentare mediante un numero una qualunque successione di numeri naturali, in maniera reversibile),
- dunque, il testo - divenuto successione finita di numeri naturali - è codificato mediante un numero naturale che poi viene rappresentato in base 2 come una successione finita di bit ("digitalizzazione").

Lo stesso procedimento può essere fatto anche per i suoni e le immagini.

Nella seconda parte della lezione ho iniziato a spiegare il concetto di Macchina di Turing, e in particolare il concetto di "nastro di una macchina di Turing" (vedi il testo).

Ventiseiesima lezione: la gradazione delle infinità, la codificazione

Questo post si riferisce alla lezione che ho tenuto ieri pomeriggio, 3 dicembre.

Nella lezione ho ripreso uno dei temi della lezione di sabato, ossia la scoperta (con un teorema dimostrato da G. Cantor) che ci sono insiemi infiniti non equipollenti, e dunque che ci sono diversi livelli di infinità.  La dimostrazione di cantor mostra in particolare che non ci può essere alcuna corrispondenza biunivoca (biezione) tra un insieme X e la sua potenza (l'insieme delle parti di X). Dunque, se X è un insieme infinito, la potenza di X è un insieme infinito di infinità maggiore di quella di X, e la potenza della potenza di X ha un'infinità maggiore di quella della potenza di X, ecc.

Si tratta di un risultato di grande importanza per la cultura in generale, oltre che per la matematica e la logica.

Successivamente, ho cominciato la trattazione della risposta alla domanda "perché tante cose, tantissime cose,  possono essere codificate mediante  successioni finite di bit ("digitalizzate")?"

Ho spiegato il concetto di "successione finita di bit" (le successioni finite di bit di lunghezza k sono 2 elevato a k, sono la potenza k-esima di 2).

Ho poi mostrato perché (per quale importante teorema matematico) i numeri naturali possono essere rappresentati mediante successioni finite di bit. è importante conoscere l'enunciato di quel teorema che permette anche la rappresentazione a noi familiare dei numeri naturali mediante successioni finite di numeri minori di 10. è importante saper rappresentare un numero (noni troppo grande!) mediante una successione finita di bit, e saper dire quale numero è rappresentato da una data successione finita di bit.

Ho poi spiegato il concetto di "codificazione" : una codificazione degli oggetti di un insieme X è una funzione da X all'insieme dei numeri naturali la quale è totale, iniettavi, calcolabile e ha una funzione inversa che è essa stessa calcolabile.

Domande?

Chiarimenti?

Venticinquesima lezione: integrazioni, approfondimenti, esercizi e riepilogo su classi e insieme

Questo blog si riferisce alla lezione che ho tenuto ieri, sabato 29 novembre.

Nella lezione ho spiegato alcune parti del capitolo su "classi e insiemi" che non avevo avuto il tempo di spiegare nelle lezioni precedenti:

a) le proprietà che può avere una funzione, e in particolare le nozioni di "funzione totale", "funzione iniettiva", "funzione suriettiva" e "funzione biettiva" (o "corrispondenza biunivoca"); si tratta di nozioni che hanno una notevole importanza nel nostro trattare con le classi e gli insiemi;

b) la nozione di "insieme equipotenti" (due insiemi sono equipollenti quando esiste tra loro una corrispondenza biunivoca, ossia intuitivamente quando "hanno lo stesso "numero di elementi"), e il grande risultato ottenuto da Canto con la scoperta che "ci sono insieme infiniti non equipotenti" ossia che si può considerare una "gradazione" degli insieme infiniti così come c'è una "gradazione" degli insieme finiti;

c) il principio di estensionalità sulle funzioni (una funzione si caratterizza per il suo "grafo", due funzioni che hanno lo stesso grafo sono uguali), e la nozione di "estensione" di una proprietà;

d) la nozione di "intersezione su un insieme" e quella di "unione su un insieme".

Nella lezione ho anche fatto un riepilogo del capitolo su classi e insieme, indicando anche la tipologia delle domande che potrebbero concernere questo capitolo, e ho svolto alcuni esercizi sulle principali operazioni insiemistica (intersezione, unione, prodotto cartesiano e potenza).

Ventiquattresima lezione: alcune importanti nozioni sugli insiemi

Questo post si riferisce alla lezione che si è svolta giovedì 27 novembre.

I temi trattati sono stati:
- esempi di prodotti cartesiani
- l'operazione "potenza di un insieme" e esempi
- l'insieme dei numeri naturali, e la nozione di "definizione induttiva" di un insieme
- le successioni finite di elementi di un insieme, e l'insieme di tutte le successioni finite di elementi di un insieme
- la nozione di funzione entro la concezione classica degli insieme, e le nozioni di "rango di una funzione" (un sottoinsieme del condominio, costituite dai valori assegnati dalla funzione quando è applicata agli elementi del dominio) e di "grafo di una funzione" (un sottoinsieme del prodotto cartesiano del dominio e del condominio, una sorta di "tabella" della funzione).

Voglio sottolineare - come ho fatto a lezione - l'importanza di queste nozioni: tanta parte della scienza moderna non si capisce senza possedere queste nozioni, tanta parte dell'informatica è basata su queste nozioni, le tabelle e il loro ampio uso odierno sono legate a queste nozioni.

Ventitreesima lezione: l'antinomia di Russell, alcuni insiemi, alcune operazioni sugli insiemi

In questa lezione ho esposto in dettaglio l'antinomia di Russell, ossia la dimostrazione che dal principio di Frege "Ogni classe è un insieme" si giunge a una falsità (usando il principio di estensionalità e il principio di comprensione).

Pertanto, l'antinomia di Russell (1904) mostra la falsità di "Ogni classe è un insieme" e la verità di "Qualche classe non è un insieme"; mostra anche alcuni esempi (fra i tanti) di classi che non possono essere "insiemi" ossia "oggetti" (la classe delle cose che non appartengono a se stesse,  e la classe totale ossia la classe di tutte le cose).

Ho provveduto poi a definire alcune classi che sono insiemi (in particolare l'insieme vuoto, mostrando a quale proprietà esso corrisponde), alcune operazioni che producono insiemi a partire da cose (singoletto, coppia, tripla, ..., n-pla...; coppia ordinata, tripla ordinata, ..., n-pla ordinata, ... ), e le operazioni di intersezione, di unione e di prodotto cartesiano.

Domande?

Chiarimenti?

Commenti?

Ventiduesima lezione: le proposizioni e i principi sulle classi

Questo blog si riferisce alla lezione che ho tenuto ieri, martedì 25 novembre, e che è stata dedicata alle proposizioni e ai principi sulle classi in logica classica.

Le proposizioni sulle classi sono:
- l'asserzione dell'appartenenza di un oggetto a una classe , e la sua negazione (l'asserzione che quell'oggetto è esterno a quella classe)
- l'asserzione che una classe X è parte di una classe Y, e la sua negazione (l'asserzione che la classe X ha elementi esterni alla classe Y)
- l'asserzione che una classe X condivide elementi con una cosse Y, e la sua negazione (l'asserzione che la classe X e la classe Y sono disgiunte).

Nella lezione ho mostrato come queste proposizioni vengono lette nella logica odierna.

I principi sulle classi sono:
- il principio di estensionalità, che risponde alla domanda "quando due classi X e Y sono uguali?" e asserisce che sono uguali quando "hanno gli stessi elementi";
- il principio di comprensione, che stabilisce il legame tra classi e proprietà asserendo che per ogni proprietà esiste una classe che le corrisponde (l'inverso  - ossia che ad ogni classe corrisponde una proprietà -  è anch'esso accettato ma è più evidente).

Nella lezione ho mostrato come vengono scritti nella logica contemporanea questi principi.

Gli insiemi sono classi che sono "oggetti", ossia che possono essere elementi di classi.

Nella lezione ho mostrato come siamo indotti a ritenere vero che "ci sono classi che sono insiemi".

Quale tra le due proposizioni "Ogni classe è un insieme" e "Ci sono classi che non sono insiemi" è vera?

Frege - e prima di lui altri filosofi e scienziati - hanno creduto che fosse vera la proposizione "Ogni classe è un insieme". Ma essa è falsa, come è stato scoperta nel 1904 con la sua "Antinomia". Dunque, è vera la proposizione "Ci sono classi che non sono insiemi".

Ventunesima lezione: esercizi, approfondimenti e riepilogo sul quinto capitolo

Nella lezione odierna ho svolto alcuni "esercizi" relativi ai temi del quinto capitolo: come accertare che una proposizione è una proposizione del primo ordine, come accertare che un insieme di proposizioni è un insieme di proposizioni del primo ordine, come "formalizzare" (ossia come trasformare in formule logiche del primo ordine) una proposizione del primo ordine e un insieme di formule del primo ordine, trovare modelli e trovare contromodelli di formule logiche del primo ordine, come è fatta la chiusura universale di una formula del primo ordine, come è fatta la chiusura esistenziale di una formula del primo ordine.

Sono tornato sul quadrato aristotelico costituito dalle proposizioni logiche "A è una verità logica" (chiusura universale di A), "A è soddisfacibile" (chiusura esistenziale di A), "A è una falsità logica" (chiusura universale di non-A) , "A è falsificabile" (chiusura esistenziale di non-A).  E ho aggiunto la spiegazione di un altro quadrato aristotelico, quello costituito dalle proposizioni "A è conseguenza logica di M" e "A è compatibile con M" e dalle loro negazioni.

Ho ripreso il tema delle dimostrazioni logiche e ho parlato anche delle "dimostrazioni analitiche": una dimostrazione analitica è una dimostrazione nella quale si usano solo i concetti presenti nella proposizione che viene dimostrata, ossia una dimostrazione condotta interamente "entro" i concetti presenti nella proposizione dimostrata.

Ho ricordato ancora una volta il teorema di incompletezza della logica, stabilito da Goedel nel 1931,  osservando che questo teorema sancisce anche che esistono proposizioni vere che non possono essere dimostrate con dimostrazioni analitiche.

Ho anche indicato la tipologia delle domande possibili sul capitolo quinto.

Ventesima lezione: modello/contromodello di una formula, chiusura universale e chiusura esistenziale di una formula, un quadrato aristotelico

I principali temi della lezione di oggi sono stati:

a) la nozione di modello e la nozione di contromodello di una formula del primo ordine (modello di una formula è un'attribuzione di valori per le variabili con la quale la formula si trasforma in una proposizione vera, contromodello di una formula è un'attribuzione di valori per le variabili con la quale la formula si trasforma in una proposizione falsa),

b) la nozione di chiusura universale e quella di chiusura universale di una formula (sono entrambe proposizioni logiche)

c) il quadrato costituito dalla proposizioni logiche "A è una legge logica" (la chiusura universale di A è vera), "A è una falsità logica" (la chiusura universale della negazione di A è falsa), "A è soddisfacibile" (la chiusura esistenziale di A è vera) , "A è falsificabile" (la chiusura esistenziale della negazione di A è vera),

d) il teorema di incompletezza di Goedel ( "ci sono proposizioni logiche vere che non sono dimostrabili logicamente", ed esempi di tali proposizioni si trovano fra le chiusure esistenziali delle formule del primo ordine).




Qualche domanda?  Qualche commento?

Diciannovesima lezione: introduzione alla logica del primo ordine e al teorema di incompletezza della logica.

Questo blog si riferisce alla lezione che ho tenuto giovedì scorso, 13 novembre: la prima lezione della seconda unità didattica.

Ho parlato del teorema di incompletezza della logica, stabilito nel 1931 da Kurt Goedel, il teorema che dice"Ci sono proposizione logiche che sono vere ma non sono dimostrabili logicamente 8ossia con strumenti tutti interni alla logica)". Questo teorema sancisce la non-autonomia della logica - e dunque rende improbabile la autonomia delle altre discipline - poiché la logica non è capace di risolvere con i suoi metodi le sue questioni, di scoprir con i suoi metodi le sue verità: certe verità "logiche" si possono scoprire soltanto adoperando metodi esterni alla logica?

Gli esempi di proposizioni logiche che sono vere ma non sono dimostrabili si trovano fra le proposizioni che sono "chiusure esistenziali di formule del primo ordine". Invece, la logica risulta capace di scoprire con i suoi metodi la verità delle proposizioni logiche che sono "chiusure esistenziali di formule del primo ordine".

Da ciò viene la necessità di capire cosa sono le formule del primo ordine (e poi cosa sono le chiusure esistenziali e le chiusure universali di tali formule).

Una formula del primo ordine è ciò che si ottiene da una proposizione del primo ordine "rimpiazzando ogni componente extra-logica con una variabile di tipo logico", come è spiegato nel libro e come riprenderò a spiegare nella prossima lezione.

Si ricordi che una proposizione del primo ordine, fra l'altro,  è una proposizione che "parla di un solo tipo di oggetti, e di proprietà, relazioni, operazioni su quel tipo" e che quantifica solo su variabili di quel tipo di oggetti ( e non su variabili per proposizioni, per predicati, per fregagioni, per operazioni).

Domande?

Chiarimenti?

Diciottesima lezione: riepilogo sulla prima unità didattica.

Questo blog si riferisce alla lezione svoltasi sabato scorso, 8 novembre, nella quale ho provveduto a un riepilogo dei principali temi della prima unità didattica, finalizzato all'esonero che si è tenuto l'11 novembre con la partecipazione di ben 309 studenti (su 330 prenotazioni).

Con soddisfazione, ho riscontrato come gli studenti abbiano sostenuto l'esonero rispettando in pieno l'orario (in ciascuno dei quattro gruppi, non c'è stato nessuno studente che sia arrivato in ritardo rispetto all'appello, e davvero sono riuscito con la collaborazione di tutti gli studenti a terminare i quattro gruppi esattamente alle ore 19) e  la disciplina (c'è stato assoluto silenzio durante lo svolgimento dei compiti), come nelle migliori università.

Ho corretto da solo tutti i compiti: posso aver commesso errori, poiché sarebbe strano che non abbia commesso alcun errore su 309 compiti! E pertanto mi fa piacere che chi ha qualche dubbio sul punteggio assegnato al suo compito venga a trovarmi, a consultare il compito, a verificare la correttezza della valutazione o a contribuire (se c'è stato un errore) a modificarla.

Sono rimasto soddisfatto dei risultati dell'esonero: posso dire che la grande maggioranza degli studenti che hanno partecipato all'esonero ha compreso sufficientemente - e in non pochi casi anche eccellentemente - i temi trattati nelle lezioni, acquisendo contenuti concettuali talvolta non facili e capacità di ragionamento abbastanza elevate che potranno essere sicuramente utili per la loro specifica formazione universitaria e in generale per la preparazione alla  futura loro attività lavorativa.

Mi piacerebbe che nei commenti a questo post  mi venissero forniti suggerimenti per migliorare il corso (anche con critiche ad eventuali difetti).

Grazie a tutti gli studenti!

Diciassettesima lezione: quantiifcatori, proposizioni categoriche. Riepilogo sul quarto capitolo.

Questo post viene scritto in sostituzione - e non come complemento - della lezione che non si è potuta tenere per effetto delle disposizioni del Rettore in seguito all'allerta "maltempo".

Esporrò i temi che intendevo trattare nella lezione, temi che riprenderò sabato mattina: e sono pronto a rispondere agli studenti che leggeranno questo post.

Il primo tema è il completamento delle regole di dimostrazione e di uso dei quantificatori. Mancava la regola di uso delle proposizioni quantificate esistenzialmente, regola esposta alla fionde della pagina 115 del volume. Dall'ipotesi (dall'informazione) che "per qualche x di tipo T, vale A[x]" si può passare a dire che vale A[a] per uno specifico oggetto a di tipo T sul quale nel proseguire la dimostrazione non si usa nient'altro che le proprietà che gli spettano in quanto oggetto di tipo T -- ossia per uno specifico oggetto a che svolgerà nel proseguire la dimostrazione il ruolo di oggetto generico di tipo T.

Il secondo tema è quello delle proposizioni categoriche, le proposizioni che sono state studiate sin dall'antichità e che costituiscono la forma generale di moltissime (se non di tutte) le proposizioni che si fanno nelle diverse discipline.

Ci sono quattro forme di proposizioni categoriche - illustrate a pagina 116: e 117

- le proposizioni universali affermative: "Ogni P è Q"
- le proposizioni particolari affermative : "Qualche P è Q"
- le proposizioni universali negative: "Nessun P è Q" ossia "Ogni P non è Q"
- le proposizioni particolari negative : "Qualche P non è Q"

P,Q sono chiamati "termini" e sono spesso degli aggettivi o delle locuzioni anche complesse che svolgono il ruolo di un aggettivo. Ciò che precede la copula "è" (nel nostro caso, P) è detto "soggetto" e  quel che segue la copula "è" (nel nostro caso, Q) è detto "predicato"

Esempi di queste proposizioni sono dati nel volume.

Quel che va saputo e ricordato è il fatto che - fissati P e Q - le quattro proposizioni categoriche che si formano con il "soggetto" P e il "predicato" Q vengono collocate ai vertici di un quadrato, in alto le proposizioni universali  e in basso quelle esistenziali, a destro quelle affermative e a sinistra quelle negative: le diagonali di questo quadrato collegano  le proposizioni che sono tra loro "contraddittorie" (la proposizione universale affermativa e quella particolare negativa, la proposizione particolare affermativa e quella uni versale negativa).

Bisogna anche sapere e ricordare le quattro regole di ragionamento che concernono le proposizioni categoriche, e che sono chiamate "sillogismi", illustrate fra la pagina 117 e la pagina 118: BARBARA, CELARENT, DARII, FERIO.

Prendiamo - ad esempio - il sillogismo BARBARA:  esso consiste in due premesse ("Ogni M è P" , "Ogni S è M")  e in una conclusione ("Ogni S è P"), accettando le due premesse  siamo costretti ad accettare anche la conclusione quale che sia il contenuto di S, P, M. Ed è bene che ciascuno faccia esempi concreti di un sillogismo BARBARA (specificando S, P, M) e si convinca che accettando le premesse è costretto ad accettare la conclusione.

Bisogna infine sapere e ricordare come le quattro proposizioni categoriche vengono "lette" nella logica almeno a partire dall'inizio della logica matematica nell'ottocento: si tratta di due letture, spiegate nelle pagine 118-119.

Con le due letture si capisce bene che le proposizioni "contraddittore" sono l'una la negazione classica dell'altra, e che dalle premesse di un sillogismo attraverso le regole che abbiamo imparato sui connettivi e sui quantificatoti si arriva alla conclusione dello stesso sillogismo.

C'è qualcuno che è in linea e ha qualcosa da chiedere?

Così posso proseguire il post rispondendo alle domande...

RIASSUNTO DEL QUARTO CAPITOLO, TIPOLOGIA DELLE DOMANDE POSSIBILI

Come ormai sanno (credo) tutti gli studenti, la quarta domanda dell'esonero riguarda temi trattati nel quarto capitolo.

In considerazione del fatto che alcuni temi dovevano essere trattati nella lezione odierna, che non ha avuto luogo, la quarta domanda dell'esonero riguarderà esclusivamente temi trattati nelle lezioni di martedì 4 e di mercoledì 5.

Esempi di domande:

cosa vuol dire A[a:T]      (in generale, o fornendo una proposizione specifica... )   --- la proposizione A dove è stata evidenziata la componente a e ad essa è stata attribuito il tipo T

cosa vuol dire "occorrenze di una componente in una proposizione"

Cosa è una variabile, cosa è il tipo di una variabile,  a cosa serve il nome di una variabile (v.pag. 108, 109)

Cosa vuole dire "sostituzione" di una variabile con un suo valore (v. pag. 108)

I tipi speciali: quali sono?

Quando è vera e quando è falsa una proposizione quantificata universalmente (in generale, o in riferimento a un caso concreto)

Quando è vera e quando è falsa una proposizione quantificata esistenzialmente (in generale, o in riferimento a una proposizione specifica).

Qual è la negazione di una proposizione quantificata universalmente?  Qual è la negazione di una proposizione quantificata esistenzialmente? (in generale, o in riferimento a una proposizione specifica).

Cos'è una dimostrazione di una proposizione quantificata universalmente (si veda cosa è scritto  fra pag. 114, e la spiegazione di ieri).

Come si dimostra una proposizione quantificata esistenzialmente (si veda ciò che è scritto a pag. 114 regola 1)


DOMANDE FACOLTATIVE

Era prevista una sola domanda facoltativa - la cui risposta è valutata al massimo 1 punto -  che può riguardare qualunque argomento di qualunque capitolo (e che può servire per recuperare qualche punto  perso nelle risposte alle domande obbligatorie o per avere la lode... ).

Ho intenzione di presentare una seconda domanda facoltativa - la cui risposta verrà valutata anch'essa al massimo 1 punto : una domanda su uno dei temi del quarto capitolo che dovevano essere trattati nella lezione di oggi,  sono stati elencati in questo post e saranno oggetto della prima parte della lezione di sabato.

Così verrà "premiato" chi è riuscito a capire anche questi importanti temi  nonostante l'annullamento della lezione odierna , e non verranno penalizzati gli altri studenti.


....


Domande?

Sedicesima lezione: i quantificatori

Nella lezione odierna sono stati definiti il quantificatore universale classico (con il quale si forma la proposizione classica quantificata universalmente "per ogni x di tipo T, vale A[x]")  e il quantificatore esistenziale classico (con il quale di forma la proposizione classica quantificata esistenzialmente "per qualche x di tipo T, vale A[x]").

Si è precisato quando è vera e quando è falsa una proposizione classica quantificata universalmente,  e quando è vera e quando è falsa una proposizione classica quantificata esistenzialmente.

Si è poi fissato qual è la negazione di una proposizione quantificata universalmente e qual è la negazione di una proposizione quantificata esistenzialmente: la negazione di "per  ogni x di tipo T, vale A[x]" è "per qualche x di tipo T, vale la negazione di  A[x]", e la negazione di "per qualche x di tipo T, vale A[x]" è "per ogni x di tipo T, vale la negazione di A[x]".

Sono state infine illustrate le regole per dimostrare e per usare le proposizioni quantificate. Le regole più interessanti (e non banali) sono quelle quelle per dimostrare una proposizione quantificata universalmente e per usare una proposizione quantificata esistenzialmente (quest'ultima regola sarà illustrata nella lezione di domani).

Quindicesima lezione: componenti di una proposizione, tipo di una componente, variabili

Nella lezione di oggi i concetti centrali sono stati:

a) la focalizzazione (o evidenziazione) di componenti entro una proposizione (attività libera), e il fatto che una stessa componente può avere più presenze (dette "occorrenze") entro una proposizione;

b) l'attribuzione di un tipo a ciascuna delle componenti focalizzate (o evidenziate) -- attività libera, ma una volta che si comincia ad attribuire un tipo ad una componente sono precluse certe attribuzioni di tipo ad altre componenti... (vedi esempi nel libro),

c) i tipi logici (proposizioni, proprietà, relazioni, operazioni,...)

d) lo spazio vuoto (o variabile) di un tipo,  ossia ciò che può essere riempito con un oggetto di quel tipo -- quando in una proposizione sono state evidenziate certe componenti e ad esse sono stati attribuiti certi tipi, e poi si mettono spazi vuoti (variabili) di tipo T al posto di ogni componente di tipo T, si ottiene qualcosa che non è più una a proposizione ma uno "schema" o "formula",

e) i nomi delle variabili di un tipo -- due variabili di tipo T con nomi uguali devono essere riempite con lo stesso oggetto di quel tipo; due variabili di tipo T con nomi diversi possono essere riempiti da oggetti diversi o uguali;

f) la sostituzione delle variabili entro gli schemi (o formule), ossia il riempimento di ciascun spazio vuoto (variabile) con un oggetto del  tipo di quella variabile, riempiendo con lo stesso oggetto tutte le variabili che hanno lo stesso nome --- mediante la sostituzione delle variabili, da uno schema si ottiene una proposizione (che può quindi essere o vera o falsa, in logica classica).

Chiarimenti?

Questioni?

Quattordicesima lezione: riepilogo del terzo capitolo, informazioni sull'esonero

Il post si riferisce alla lezione che si è svolta ieri, giovedì 30 ottobre, nella quale ho fatto un riepilogo del terzo capitolo, quello dedicato ai connettivi principali della logica classica, e ho dato alcune informazioni sulla prova intermedia facoltativa ("esonero") di martedì 11 novembre p.v.

Le principali informazioni sono:

a) la terza domanda dell'esonero verterà sui temi principali del terzo capitolo, ossia:
- le tavole dei connettivi principali della logica classica (ed eventualmente il loro commento)
- la definizione dell'implicazione classica, dell'alternativa classica e dell'equivalenza classica mediante le negazione classica, la congiunzione classica e la disgiunzione classica (ed eventualmente la giustificazione di tale definizione);
- la negazione di ciascuna proposizione ottenuta mediante i connettivi principali della logica classica;
. le regole di dimostrazione e le regole d'uso di una congiunzione e le regole di dimostrazione e di uso di una disgiunzione classica;

b) la quinta domanda dell'esonero verterà su  una particolare proposizione a proposito della quale si dovrà (secondo il modello illustrato nell'ultima sezione del capitolo 3, e secondo gli esempi contenuti alle pagine 243-246 del volume):
- fare l'analisi mediante i connettivi principali delle alogica classica;
- scrivere tale analisi usando sokltanto la negazione classica, la congiunzione classica e la disgiunzione classica;
- fare la negazione della proposizione così analizzata:
- scrivere tale negazione in lingua italiana.

Tredicesima lezione: regole di dimostrazione e di uso delle proposizioni connettivate, analisi di una proposizione mediante i connettivi principali della logica classica

Invito gli studenti a fare questi "esercizi", sulla base delle informazioni che hanno avuto nella lezione odierna a proposito del terzo capitolo del volume:

- comprendere bene le regole di dimostrazione e di uso della congiunzione classica e della disgiunzione classica;

- utilizzando le regole di dimostrazione e di uso della congiunzione classica e della disgiunzione classica, specificare le regole di dimostrazione e di uso della implicazione classica, della equivalenza classica e dell'alternativa classica;

- applicare le regole di dimostrazione e di uso dei connettivi principali della logica classica al caso di particolari proposizioni connettivate scelte nell'ambito di una particolare disciplina;

- applicare le due dimostrazioni logiche considerate nella lezione (quelle che sono alla base dei sillogismi) a proposizioni particolari scelte nell'ambito di una particolare disciplina.

Domani nella lezione saranno considerate altre proposizioni da analizzare mediante i connettivi principali della logica classica, sulle quali poi fare la negazione, secondo la procedura illustrata nella lezione di oggi.

Domande?

Commenti?

Dodicesima lezione: negazione delle proposizioni "connettivate", come dimostrare e come usare una congiunzione e una disgiunzione

Nella lezione di oggi è stato mostrato qual è la esplicitazione della negazione di una proposizione "connettivata", ossia di una proposizione ottnenuta da due proposizioni mediante uno dei connettivi principali della logica classica: la negazione della congiunzione di A e B è la disgiunzione della  negazione di A e della negazione di B, la negazione della disgiunzione di A e B è la congiunzione della negazione di A e della negazione di B, la negazione dell'implicazione "Se A allora B" è la congiunzione di A con la negazione di B ( "A ma non B"), la negazione dell'alternativa classica di A e B è la equivalenza di A e B, e la negazione dell'equivalenza di A e B è la alternativa classica di A e B.

In particolare, la negazione di una proposizione complessa costituita da proposizioni "semplici" mediante  congiunzioni, disgiunzioni e negazioni consiste nel cambiare ognuna delle proposizioni semplici con la sua negazione, ciascuna congiunzione con una disgiunzione e ciascuna disgiunzione con una congiunzione.

Nella lezione di oggi è stato spiegato come
1) la dimostrazione di una congiunzione consista nella presentazione di 2 dimostrazioni distinte, una per ciascuno dei due membri della congiunzione;
2) la dimostrazione di una disgiunzione consiste nella presentazione di 1 sola dimostrazione, la quale può essere:
- la dimostrazione di uno solo dei due membri della disgiunzione,
- la dimostrazione che ciascun membro della disgiunzione si ottiene con una dimostrazione logica dalla negazione dell'altro membro della disgiunzione.
3) una congiunzione di due proposizioni può essere usata per ottenere:
1) uno solo dei due membri della congiunzione
2) entrambi i membri della congiunzione.

Nella lezione di domani farò vedere come si usa la disgiunzione di due proposizioni.

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Undicesima lezione: tabelle dei connettivi principali della logica classica

In questa lezione, nella parte che non è stata dedicata al riepilogo sul primo e sul secondo capitolo, è stata completata la presentazione e il commento delle tabelle dei principali connettivi della logica classica: congiunzione classica (vera quando entrambi i membri sono veri), disgiunzione classica (falsa quando entrambi i membri sono falsi), alternativa classica (falsa quando i membri sono uguali),  implicazione classica (falsa quando il primo membro è vero e il secondo è falso), equivalenza classica (vera quando i membri sono uguali).

Ho fatto vedere come l'implicazione "se A allora B" in logica classica sia la stessa cosa che "non-A oppure B" (oppure nel senso della disgiunzione classica), ossia che l'implicazione classica si può definire a partire dalla disgiunzione classica e dalla negazione classica.

Ho mostrato anche ( e lo riprenderò questo tema all'inizio della prossima lezione) come l'alternativa classica e la equivalenza classica si possano definire a partire dalla congiunzione classica, dalla disgiunzione classica e dalla negazione classica.

Decima lezione: le regole caratteristiche della logica classica, le definizione dei connettivi classici

La regola della conseguenza mirabile e la regola dell' "a fortiori" sono le regole caratteristiche della logica classica, nel senso che usare tale regole costringe ad accettare che le proposizioni siano BIT immutabili e dunque ad accettare la concezione della logica classica.

Come ho detto ad alcuni studenti nell'intervallo e dopo la lezione, la premessa della regola della conseguenza mirabile (avere una dimostrazione di una proposizione A dalla sua negazione) obbliga a riconoscere che quella proposizione A è vera perché non può essere falsa (infatti la scoperta della falsità di A - ossia la scoperta della verità della sua negazione - porterebbe alla scoperta della verità di A, il che è impossibile).

Ricordo le principali nozioni sui connettivi in logica classica, trattate oggi:

- la concezione estensionale dei connettivi
- la concezione vero-funzionale dei connettivi,
- i quattro modi in cui possono essere due proposizioni classiche
- la tabella della congiunzione classica
- la tabella della disgiunzione classica (la disgiunzione nel senso di  vel)
- la tabella della alternativa classica (la disgiunzione nel senso di aut)

Nona lezione: la negazione classica, i principi e le regole fondamentali della logica

Questo post si riferisce alla lezione tenuta ieri pomeriggio, 21 ottobre.

I temi centrali della lezione sono stati:

a) la nozione di negazione classica

b) cos'è in logica classica una dimostrazione da ipotesi (qualcosa che permette di ottenere la verità della conclusione dalla verità dell'ipotesi, e la falsità della ipotesi dalla falsità della conclusione; qualcosa che permette di dire che la negazione dell'ipotesi e la conclusione non possono essere entrambe false; qualcosa che perente di dire che deve essere vera una di queste due proposizioni, la negazione dell'ipotesi e la conclusione);

c) il principio fondamentale della logica classica: data una proposizione e la sua negazione, dalla refutazione di una delle due si ottiene la dimostrazione dell'altra, dalla falsità di una delle due si ottiene la verità dell'altra);

d) tre letture importanti di quello stesso principio, letture che spesso sono considerati (erroneamente) principi diversi:
- il principio di non contraddizione: data una proposizione e la sua negazione, esse non possono essere entrambe vere (si potrebbe anche formulare dicendo: data una proposizione e la sua negazione, esse non possono essere entrambe false);
- il principio del terzo escluso: data una proposizione e la sua negazione, una delle due è vera (si potrebbe anche esprimere dicendo: data una proposizione e la sua negazione, una delle due è falsa);
- il principio di identità:  se A allora A (ossia, se A è vera allora A è vera); principio che si potrebbe anche esprimere dicendo: se A è falsa allora A è falsa.

e) la regola del modus ponens

f) la regola del modus tollens

g) la regola di transitività

h) l'osservazione che le tre regole precedenti - regole che dicono come si usano le dimostrazioni da ipotesi - sono casi particolari di una regola generale, chiomata regola del taglio (sulla quale tornerò nella lezione di oggi).

Ottava lezione: proposizioni, dimostrazioni e refutazioni in logica classica.

Nella prossima lezione riprenderò il discorso sulla negazione classica (e spiegherò che la negazione classica di una proposizione classica è il duale logico di quella proposizione, quando intendiamo proposizioni, dimostrazioni e refutazioni  secondo la loro concezione classica, ossia secondo la loro concezione entro la logica classica).

La lezione di oggi ha introdotto la concezione classica delle proposizioni, delle dimostrazioni e delle refutazioni:
- una proposizione è un bit immutabile -- dove bit è qualcosa che può stare in uno e uno solo fra due stati diversi, uno stato 1 e uno stato 0  --- una concezione che è "estensionale, bivalente, spaziale e a-temporale"
- una dimostrazione di una proposizione A è qualcosa che fa scoprire che "A è 1" (che "A è vera"),
- una refutazione di una proposizione A è qualcosa che fa scoprire che "A è 0" (che "A è falsa").

Pertanto, una dimostrazione di A dall'ipotesi B è qualcosa che permette di passare dalla (scoperta della) verità dell'ipotesi B alla (scoperta della) verità della conclusione A e permette di passare dalla (scoperta della) falsità  della conclusione A alla (scoperta della) falsità della ipotesi B.

Consiglio di svolgere gli esercizi indicati nel volume.

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Settima lezione: strategie - macchine - reti, organizzazione assiomatica delle discipline

Riassumo alcuni temi della lezione di oggi.

Una strategia è caratterizzata dal suo obiettivo (una strategia per calcolare una operazione viene chiamata "programma" o "algoritmo", una strategia per accertare una proprietà o una relazione viene chiamata "test"), deve essere sempre qualcosa di finito e di concreto (ad esempio, un programma per una operazione deve permette di ottenere il valore dell'operazione per un suo argomento in un numero finito di passi e mediante atti concreti), può essere sequenziale (ossia eseguibile da un solo soggetto, da una Macchina) o non-sequenziale (ossia eseguibile solo con la presenza di più soggetto, ossia solo da Reti di Macchine).

L'organizzazione assiomatica di una disciplina consiste nel trovare un numero finito (il più piccolo possibile) di proposizioni accettate nella disciplina e di concetti capiti nella disciplina, tali che:
- usando quelle proposizioni come ipotesi,  mediante dimostrazioni logiche, si possono ottenere come conclusioni tutte le altre proposizioni accettate nella disciplina  
- partendo da quei concetti,  mediante definizioni logiche, si possono ottenere tutti gli altri concetti della disciplina.

Le proposizioni di una disciplina dalle quali si ottengono tutte le altre proposizioni accettate della disciplina mediante dimostrazioni logiche sono chiamate "Assiomi della disciplina"; i concetti di una disciplina dai quali si ottengono tutti gli altri concetti della disciplina mediante definizioni logiche sono chiamati "Concetti fondamentali o basilari della disciplina".

Quindi l'organizzazione assiomatica di una disciplina consiste nel trovare un numero finito (il più piccolo possibile) di Assiomi e di Concetti basilari di quella disciplina.

Domani farò alcuni esempi di discipline organizzate assiomaticamente: per il momento consiglio di riferirsi alla geometria.

Sono pronto a rispondere a vostre domande!

Sesta lezione: classi e operazioni

Il post si riferisce alla lezione tenuta ieri pomeriggio, martedì 14 ottobre.

Consiglio di considerare esempi delle principali proposizioni che si possono fare, in ogni disciplina, su due classi:

- la classe X è inclusa nella (è parte della) classe Y
- la classe X è disgiunta dalla classe Y
- la classe X ha elementi in comune con la classe Y
- la classe X ha elementi esterni alla classe Y.

Consiglio inoltre di
- considerare casi di classi finite che sono singoletti , coppie, triple, quadruple, ...
- considerare casi di classi finite ordinate che sono coppie ordinate, triple ordinate, quadruple ordinate
- riflettere sugli alberi finiti presentati a lezione (e riportati nel volume), e sui cammini in tali alberi.

Consiglio infine di considerare particolari operazioni, individuando per ciascuna di esse il dominio e il condominio.

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Quinta lezione: dualità e dimostrazioni da ipotesi, comunicazione tra dimostrazioni (e tra processi), classi

I punti salienti della lezione di oggi:

a) ogni dimostrazione di A da B è anche una dimostrazione del duale logico di B dal duale logico di A: lo stesso oggetto che è una dimostrazione la cui conclusione è A e la cui ipotesi è B può essere "visto" come una dimostrazione la cui conclusione è il duale logico di B e la cui ipotesi è il duale logico di A;

b) si ha comunicazione tra due processi (o tra due dimostrazioni) quando i due processi sono distinti e uno dei due ha come output (conclusione) ciò che l'altro ha come input (ipotesi), ossia quando uno dei due "produce" ciò che l'altro "attende":

c) nella comunicazione tra due dimostrazioni (e nella comunicazione tra processi economici) il ruolo attivo non è giocato esclusivamente da una sola delle due ma da entrambe;

d) le classi contengono (come "elementi", "membri") oggetti, e  un  oggetto è ciò che può essere elemento di una classe. Le proposizioni più semplici sulle classi hanno la forma " l'oggetto x appartiene alla classe X"  (che può essere anche espressa dicendo "l'oggetto x è elemento (è membro) della classe X") e "l'oggetto x non appartiene alla classe X" (che può essere anche espressa dicendo "l'oggetto x non è elemento alla classe X" o "l'elemento x è esterno alla classe X").

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Quarta lezione: dibattiti, proposizioni duali, proposizioni logicamente duali

Consiglio di evidenziare, considerando uno più dibattiti presi in una particolare disciplina o nella vita comune, gli aspetti che devono caratterizzare i dibattiti:
- la presenza di almeno 2 soggetti (uno che inizia nel ruolo di proponente, l'altro che inizia nel ruolo di proponente, con possibile scambio di ruolo nel corso del dibattito)
- l'avvio con una proposizione proposta dal proponente, e dalla successiva risposta dell'opponente con una proposizione che la contraddittoria di quella proposta dal proponente
- l'alternanza di mosse (una da parte dei uno dei due soggetti e l'altra da parte dell'altro soggetto) , nel corso del dibattito,
- la possibile presenza di una strategia
- la possibile conclusione attraverso la sospensione, l'abbandono o la vittoria di uno dei suoi soggetto con la simultanea sconfitta dell'altro.

Consiglio anche di considerare coppie di proposizioni che sono duali sotto due spunti di vista alternativi,  e coppie di proposizioni che sono logicamente duali .

Si deve ricordare che

- due proposizioni sono logicamente duali quando le dimostrazioni di una sono le refutazioni dell'altra e le refutazioni di una sono le dimostrazioni dell'altra;
- data una proposizione A, c'è una sola proposizione che è logicamente duale ad A , e questa proposizione viene chiamata "il duale logico di A" o "la negazione di A" o "la contraddittoria di A".

Ci sono domande?

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Terza lezione: dimostrazioni da ipotesi, processi con input e output

La dimostrazione da ipotesi, illustrata nella lezione, è  quella che ha come conclusione la proposizione
"La cultura non è in crisi"

e come ipotesi la congiunzione delle seguenti proposizioni:

1, La cultura interessa e piace.
2. Tutto ciò che non viene apprezzato, viene emarginato e viene ignorato.
3. Tutto ciò che viene finanziato, si sviluppa e non è in crisi.
4. La maleducazione non viene apprezzata e non interessa.
5. Tutto ciò che piace, viene apprezzato e viene finanziato.

Questa  dimostrazione da ipotesi "presentata dall'alto verso il basso" procede come segue:

- Si suppone l'ipotesi.
- Dall'ipotesi segue 1, e pertanto segue "La cultura piace".
- Da questa proposizione e dalla proposizione 5 (che segue dall'ipotesi), segue "La cultura viene apprezzata e viene finanziata" e pertanto segue "La cultura viene finanziata".
- Da questa proposizione e dalla proposizione 3 (che segue dall'ipotesi) segue "La cultura si sviluppa e non è in crisi", da cui segue "La cultura non è in crisi".

I passaggi della dimostrazione sono scanditi dal verbo "segue",  e dire che  una proposizione C segue da una proposizione D  è dire che ogni dimostrazione di D produce una dimostrazione di C e ogni refutazione di C produce una refutazione di D. Pertanto, ogni dimostrazione dell'ipotesi produce una dimostrazione della conclusione "La cultura non è in crisi", e ogni refutazione della conclusione "La cultura non è in crisi" produce una refutazione della ipotesi.

La stessa dimostrazione da ipotesi "presentata dal basso verso l'alto" procede come segue:

- Si considera  "La cultura non è in crisi".
- Tale proposizione è ricondotta alla proposizione  "La cultura si sviluppa e non è in crisi" che a sua volta  è ricondotta alla proposizione 3 (e quindi all'ipotesi) e alla proposizione "La cultura viene finanziata".
- Questa proposizione  è ricondotta a "La cultura viene apprezzata e viene finanziata", proposizione  che viene a sua volta ricondotta alla proposizione 5 e alla proposizione "La cultura piace"
- Questa proposizione viene ricondotta alla proposizione 1, e dunque all'ipotesi.

I passaggi della dimostrazione sono scanditi dal verbo "è ricondotta", e dire che una proposizione D  è ricondotta ad una proposizione C  è dire che ogni refutazione di D produce una refutazione di D e ogni dimostrazione di C produce una dimostrazione di D. Pertanto ogni refutazione della conclusione "La cultura non è in crisi" produce una refutazione dell'ipotesi, e ogni dimostrazione dell'ipotesi produce una dimostrazione di "La cultura non è in crisi".

La dimostrazione da ipotsi ora considerata è una dimostrazione logica: poiché tutti i suoi passaggi (vedi il libro) sono applicazioni di "regole logiche", ossia di regole che concernono concetti logici (nel caso considerato, regole sulla congiunzione e sul quantificatore universale "ogni").

Questa dimostrazione da ipotesi - come ogni dimostrazione da ipotesi - è un processo che può essere descritto in due maniere:
-  come un processo che ha come input una dimostrazione della ipotesi e come output una dimostrazione della conclusione
-come  un processo che ha come input una refutazione della conclusione e come output una refutazione della ipotesi.

Le dimostrazioni da ipotesi sono particolari processi, e anzi sono un importante modello dei processi.

Processi che possono avere - come le dimostrazioni da ipotesi - due descrizioni sono quelli commerciali: il processo che ha come input "pagare 1 € " e come output "acquistare un caffè" è lo stesso processo che ha come input "vendere un caffè" e come output "incassare 1 €".

Seconda lezione: dimostrazione, refutazione, dimostrazione da ipotesi

Alcuni punti trattati nella lezione:
- cos'è (o meglio: cosa deve permettere di fare) una dimostrazione:
- cos'è (o meglio: cosa deve permettere di fare) una refutazione
- cos'è (o meglio: cosa deve permettere di fare) una dimostrazione da ipotesi.

è bene considerare una proposizione e domandarsi:
- come dovrebbero essere fatte le sue dimostrazioni?
- come dovrebbero essere fatte le sue refutazioni?

Le regole di ogni singola disciplina stabiliscono come devono essere fatte le dimostrazioni e le refutazioni delle proposizioni di quella disciplina che sono prive di concetti logici.

Ci si può rendere conto che, se nella proposizione ci sono concetti logici, allora  le sue dimostrazioni e le sue refutazioni devono essere fatte secondo regole logiche che riguardano i concetti logici presenti nella proposizione.

Ad esempio, se una proposizione è la congiunzione di due proposizioni (ossia se la proposizione è della forma "A e B"), allora una possibile dimostrazione di essa deve essere una coppia di proposizioni costituita da una dimostrazione di A e da una dimostrazione di B.

L'esempio di una semplice  dimostrazione da ipotesi, fornito nella lezione, è stato:
Ipotesi: la proposizione: "Giovanni è studenti del corso di logica e tutti gli studenti del corso di logica passano l'esame"
Conclusione : la proposizione "Giovanni passa l'esame"


Infatti : noi siamo in grado di trasformare immediatamente ogni dimostrazione della ipotesi in una dimostrazione della conclusione, e di trasformare ogni refutazione della conclusione in una refutazione della ipotesi.

Questa dimostrazione da ipotesi è semplice perché passa immediatamente dalla ipotesi dalla conclusione, usando una regola generale logica che dice:
da una ipotesi della forma "a è V , e ogni cosa che è V è anche W" si passa immediatamente alla conclusione "a è W"


Nella prossima lezione si tratteranno "dimostrazioni da ipotesi" un po' più complicate...

Prima lezione : i temi della logica

La logica si occupa di

dimostrazioni
refutazioni
dibattiti

classificazioni

programmi e macchine

organizzazione delle conoscenze

perché si tratta di attività che si compiono in tutte le branche della nostra conoscenza (e le "discipline" sono branche della nostra conoscenza).


Un utile esercizio è quello di riflettere su queste attività nelle discipline alle quali siamo più interessati (ad esempio, in giurisprudenza, in economia, in storia, in matematica, ecc.).


La logica si occupa di proposizioni, perché esse sono presenti in tutte le branche della nostra conoscenza.

Mostrare proposizioni che sono linguisticamente differenti ma logicamente uguali, perché si comportano nella stessa maniera nelle dimostrazioni, nelle refutazioni e nei dibattiti.

La logica si occupa anche di

negazione ("non")
congiunzione ("e")
disgiunzione ("o")
implicazione ("se ... allora...")
quantificazione universale ("ogni")
quantificazione particolare (qualche")
...

perché si tratta di concetti che sono presenti nelle proposizioni di tutte le branche della nostra conoscenza, e dunque sono "concetti logici".

(vedere il testo pagg. 3-4)

Un utile esercizio è quello di individuare altri "concetti logici" presenti nelle proposizioni che comunemente facciamo.

Domande?

Obiezioni?

Osservazioni?

Questo blog

Questo blog è indirizzato ai lettori del mio volume "Logica. Lezioni di primo livello" (Cedam, prima edizione 2009; seconda edizione 2012), e in particolare agli studenti che frequentano il mio corso di logica intitolato "Logica e Comunicazione" presso l'Università Roma Tre  e che appartengono al corso di laurea in "Scienze della Comunicazione", al  corso di laurea in "Filosofia" e a diversi altri corsi di studio dell'Università Roma Tre.  


Il blog accompagnerà le mie lezioni di "Logica e Comunicazione" che hanno come testo di riferimento il volume "Logica. Lezioni di primo livello" e si terranno nel I semestre dell'anno accademico 2014-2015, a  partire da mercoledì 1 ottobre.

Nel blog, dopo ogni lezione, aprirò una discussione sui temi trattati nella lezione:  risponderò alle domande e alle osservazioni dei lettori, fornirò le spiegazioni che mi vorranno chiedere,  presenterò su loro richiesta tutto ciò che potrà servire ad agevolare la lettura e lo studio.


L'avanzamento della conoscenza avviene attraverso la discussione e il confronto, e anche un blog può essere uno strumento per questa discussione e questo confronto.