Lezione n. 17 - 22 novembre 2016 // Logica del primo ordine

In questa lezione ho  mostrato esempi di proposizioni del primo ordine e di proposizioni che non sono del primo ordine, ed esempi di formule.

Ho poi esposto la nozione di modello e di contromodello di una formula del primo ordine,.

Ho quindi spiegato - in riferimento alle formule del primo ordine - le nozioni di : "verità logica", "soddisfacibile", "falsità logica", "falsificabile".

Infine, ho ripreso - in riferimento a queste nozioni- i teoremi di incompletezza della logica ("ci sono formule del primo ordine la cui chiusura esistenziale è una proposizione logica vera (ossia la formula è soddisfacibile) ma non è dimostrabile logicamente") e e di completezza della logica del primo ordine ("per ogni formula del primo ordine, se la sua chiusura universale è una proposizione logica vera (ossia se la formula è una verità logica)   allora è dimostrabile logicamente").

Ecco le foto della lavagna durante questa lezione:

Foto 1

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Lezione n. 17 - 22 novembre 2016 // Logica del primo ordine

In questa lezione ho  mostrato esempi di proposizioni del primo ordine e di proposizioni che non sono del primo ordine, ed esempi di formule.

Ho poi esposto la nozione di modello e di contromodello di una formula del primo ordine,.

Ho quindi spiegato - in riferimento alle formule del primo ordine - le nozioni di : "verità logica", "soddisfacibile", "falsità logica", "falsificabile".

Infine, ho ripreso - in riferimento a queste nozioni- i teoremi di incompletezza della logica ("ci sono formule del primo ordine la cui chiusura esistenziale è una proposizione logica vera (ossia la formula è soddisfacibile) ma non è dimostrabile logicamente") e e di completezza della logica del primo ordine ("per ogni formula del primo ordine, se la sua chiusura universale è una proposizione logica vera (ossia se la formula è una verità logica)   allora è dimostrabile logicamente").

Ecco le foto della lavagna durante questa lezione:

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Lezione n. 15 - 7 novembre 2016 // Termine del quarto capitolo, ripasso generale, esercizi

Nella lezione di oggi ho terminato la spiegazione del quarto capitolo, ho compiuto un ripasso generale dei temi trattati nella prima unità didattica e ho svolto alcuni esercizi.

Qui il file pdf con quel che ho scritto sulla lavagna nella lezione del 2 novembre e in quella di oggi.

Lezione n. 14 - 2 novembre 2016 // Quantificazione: i quantificatori universale e particolare, le proposizioni categoriche.

In questa lezione sono stati definiti il quantificatore universale classico (con il quale si forma la proposizione classica quantificata universalmente "per ogni x di tipo T, vale A[x]")  e il quantificatore esistenziale classico (con il quale di forma la proposizione classica quantificata esistenzialmente "per qualche x di tipo T, vale A[x]").

a) Si è precisato quando è vera e quando è falsa una proposizione classica quantificata universalmente,  e quando è vera e quando è falsa una proposizione classica quantificata esistenzialmente.

b) Si è fissato qual è la negazione di una proposizione quantificata universalmente e qual è la negazione di una proposizione quantificata esistenzialmente: la negazione di "per  ogni x di tipo T, vale A[x]" è "per qualche x di tipo T, vale la negazione di  A[x]", e la negazione di "per qualche x di tipo T, vale A[x]" è "per ogni x di tipo T, vale la negazione di A[x]".

c) Sono state infine illustrate le regole per dimostrare e per usare le proposizioni quantificate.

Le regole più interessanti (e non banali) sono quelle per dimostrare una proposizione quantificata universalmente e per usare una proposizione quantificata esistenzialmente:

- dimostrare una proposizione universale "per  ogni x di tipo T, vale A[x]" è dimostrare la proposizione A[a] dove a è un oggetto di tipo T e nella dimostrazione è trattato come un oggetto “generico” (ossia nella dimostrazione si usa dell’oggetto a solo le proporietà che gli spettano in quanto oggetto di tipo T);

-  dall'ipotesi (dall'informazione) che "per qualche x di tipo T, vale A[x]" si può passare a dire che vale A[a] per uno specifico oggetto a di tipo T sul quale nel proseguire la dimostrazione non si usa nient'altro che le proprietà che gli spettano in quanto oggetto di tipo T -- ossia per uno specifico oggetto a che svolgerà nel proseguire la dimostrazione il ruolo di oggetto generico di tipo T.

Infine, in questa lezione, sono state presentate le proposizioni categoriche, le proposizioni che sono state studiate sin dall'antichità e che costituiscono la forma generale di moltissime (se non di tutte) le proposizioni che si fanno nelle diverse discipline. Ci sono quattro forme di proposizioni categoriche:

- le proposizioni universali affermative: "Ogni P è Q"

- le proposizioni particolari affermative : "Qualche P è Q"

- le proposizioni universali negative: "Nessun P è Q" ossia "Ogni P non è Q"

- le proposizioni particolari negative : "Qualche P non è Q"

P,Q sono chiamati "termini" e sono spesso degli aggettivi o delle locuzioni anche complesse che svolgono il ruolo di un aggettivo. Ciò che precede la copula "è" (nel nostro caso, P) è detto "soggetto" e  quel che segue la copula "è" (nel nostro caso, Q) è detto "predicato"

Esempi di queste proposizioni sono dati nel volume.

Quel che va saputo e ricordato è il fatto che - fissati P e Q - le quattro proposizioni categoriche che si formano con il "soggetto" P e il "predicato" Q vengono collocate ai vertici di un quadrato, in alto le proposizioni universali  e in basso quelle esistenziali, a destro quelle affermative e a sinistra quelle negative: le diagonali di questo quadrato collegano  le proposizioni che sono tra loro "contraddittorie" (la proposizione universale affermativa e quella particolare negativa, la proposizione particolare affermativa e quella universale negativa).

Lezione n. 13 - lunedì 31 ottobre 2016 // Esercizi ed approfondimenti sui capitoli 2 e 3.

In questa lezione ho indicato la tipologia di domande relative al capitolo 3 (su questo capitolo ci saranno due domande, la terza e la quinta).

• la tavola di alcuni dei connettivi principali della logica classica, eventualmente con qualche commento;
• la definizione dell'implicazione classica, della alternativa classica e della equivalenza classica, a partire da negazione classica, congiunzione classica, disgiunzione classica;
• la negazione di una congiunzione classica, di una disgiunzione classica, di una implicazione classica, di una alternativa classica, di una equivalenza classica;
• la regola per dimostrare una congiunzione e le regole per dimostrare una disgiunzione (eventualmente, le regole per dimostrare un'implicazione, una equivalenza o una alternativa); 
• le regole per usare una congiunzione, e le regole per usare una disgiunzione (eventualmente, le regole per usare una implicazione, una equivalenza, un'alternativa);
• l'analisi di una proposizione data A mediante i connettivi principali della logica classica; scrivere tale analisi di A usando soltanto negazione, congiunzione e disgiunzione; fare la negazione della proposizione A analizzata; scrivere la negazione della proposizione A in lingua italiana; calcolare il valore della proposizione una volta conosciuti i valori delle sue componenti; indicare come può essere dimostrata la proposizione A.

In questa stessa lezione ho fatto alcuni esercizi di analisi di proposizioni, e ho fornito alcuni approfondimenti su temi trattati nelle lezioni precedenti. 

Qui il pdf con ciò che ho scritto sulla lavagna in questa lezione. 

Lezione n. 12 - mercoledì 26 ottobre 2016 // Quantificazione: evidenziazione, attribuzione dei tipi, tipi logici, variabili

Nella lezione di oggi i concetti centrali sono stati:

a) la focalizzazione (o evidenziazione) di componenti entro una proposizione (attività libera), e il fatto che una stessa componente può avere più presenze (dette "occorrenze") entro una proposizione;

b) l'attribuzione di un tipo a ciascuna delle componenti focalizzate (o evidenziate) -- attività libera, ma una volta che si comincia ad attribuire un tipo ad una componente sono precluse certe attribuzioni di tipo ad altre componenti... (vedi esempi nel libro),

c) i tipi logici (proposizioni, proprietà, relazioni, operazioni,...)

d) lo spazio vuoto (o variabile) di un tipo,  ossia ciò che può essere riempito con un oggetto di quel tipo -- quando in una proposizione sono state evidenziate certe componenti e ad esse sono stati attribuiti certi tipi, e poi si mettono spazi vuoti (variabili) di tipo T al posto di ogni componente di tipo T, si ottiene qualcosa che non è più una a proposizione ma uno "schema" o "formula",

e) i nomi delle variabili di un tipo -- due variabili di tipo T con nomi uguali devono essere riempite con lo stesso oggetto di quel tipo; due variabili di tipo T con nomi diversi possono essere riempiti da oggetti diversi o uguali;

f) la sostituzione delle variabili entro gli schemi (o formule), ossia il riempimento di ciascun spazio vuoto (variabile) con un oggetto del  tipo di quella variabile, riempiendo con lo stesso oggetto tutte le variabili che hanno lo stesso nome --- mediante la sostituzione delle variabili, da uno schema si ottiene una proposizione (che può quindi essere o vera o falsa, in logica classica).

Chiarimenti?

Questioni?

Qui è il file pdf contenente ciò che ho scritto sulla lavagna in questa lezione. 

Lezione n. 11 - martedì 25 ottobre 2016 // Connettivi principali della logica classica: regole, analisi delle proposizioni

In questa lezione ho concluso la spiegazione delle regole per ottenere una dimostrazione di una proposizione connettivata come conclusione di una dimostrazione, e per usare una proposizione connettivata come ipotesi entro una dimostrazione. 

Ho spiegato che:

1) la dimostrazione di una disgiunzione consiste nella presentazione di 1 sola dimostrazione, la quale può essere:

·      la dimostrazione di uno solo dei due membri della disgiunzione,

·      la dimostrazione che ciascun membro della disgiunzione si ottiene con una dimostrazione logica dalla negazione dell'altro membro della disgiunzione;

2) una disgiunzione di due proposizioni A,B può essere usata:

·      per ottenere da essa una proposizione C, quando si è fatto vedere che quella proposizione C si ottiene sia da A che da B (distinzione dei casi)

·      per ottenere una delle due proposizioni A,B quando si viene a sapere che l’altra è falsa;

3) le regole per dimostrare una implicazione, una equivalenza o una alternativa si ottengono da quelle per dimostrare una congiunzione e per dimostrare una disgiunzione, come farò vedere nella lezione supplementare di sabato 29 ottobre;

4) le regole per usare entro una dimostrazione  una implicazione, una equivalenza o una alternativa  come ipotesi si ottengono da quelle per usare  come ipotesi  una congiunzione e per usare come ipotesi una disgiunzione, come farò vedere nella lezione supplementare di sabato 29 ottobre.

Ho poi spiegato:

-  come si analizza una proposizione mediante i connettivi principali della logica classica, 

- come si esprime una proposizione analizzata usando soltanto la negazione classica, la congiunzione classica e la disgiunzione classica,

 - come si trova la negazione di una proposizione analizzata

- come si traduce in lingua italiana la negazione di una proposizione analizzata (ottenendo la "corretta" negazione della proposizione),

- come si dimostra una proposizione analizzata,

- come si calcola il valore di una proposizione analizzata, quando si conosce il valore delle sue componenti.

Altri esempi di analisi  di proposizioni saranno fatti nella lezione supplementare di sabato 29 ottobre e in quella del 31 ottobre. 

Ho mostrato infine alcune dimostrabilità logiche, che saranno spiegate nella lezione supplementare del 29 ottobre e che sono alla base dei sillogismi di Aristotele.

Qui è il file pdf di ciò che ho scritto sulla lavagna in questa lezione.

Lezione n. 10 - lunedì 24 ottobre 2016 // Connettivi principali della logica classica: definibilità, negazione, regole

In questa lezione  ho concluso la definizione dei principali connettivi della logica classica, mostrando e spiegano la tabella della equivalenza classica (vera quando i due membri hanno lo stesso valore, falsa quando hanno valore diverso).

Successivamente ho spiegato come i connettivi della logica classica si possano tutti definire a partire dalla negazione classica, dalla congiunzione classica e dalla disgiunzione classica: 

1) ho fatto vedere come l'implicazione "se A allora B" in logica classica sia la stessa cosa che "non-A oppure B" (oppure nel senso della disgiunzione classica), ossia che l'implicazione classica si può definire a partire dalla disgiunzione classica e dalla negazione classica;

2) ho mostrato che  l'alternativa classica e la equivalenza classica si possano definire a partire dalla congiunzione classica, dalla disgiunzione classica e dalla negazione classica.

Sono poi passato a spiegare qual è la esplicitazione della negazione di una proposizione "connettivata", ossia di una proposizione ottenuta da due proposizioni mediante uno dei connettivi principali della logica classica: 

- la negazione della congiunzione di A e B è la disgiunzione della  negazione di A e della negazione di B, 

- la negazione della disgiunzione di A e B è la congiunzione della negazione di A e della negazione di B, 

- la negazione dell'implicazione "Se A allora B" è la congiunzione di A con la negazione di B ( "A ma non B"), 

- la negazione dell'alternativa classica di A e B è la equivalenza di A e B, 

- la negazione dell'equivalenza di A e B è la alternativa classica di A e B.

In particolare, la negazione di una proposizione complessa costituita da proposizioni "semplici" mediante  congiunzioni, disgiunzioni e negazioni consiste nel cambiare ognuna delle proposizioni semplici con la sua negazione, ciascuna congiunzione con una disgiunzione e ciascuna disgiunzione con una congiunzione.

Infine, ho spiegato come

1) la dimostrazione di una congiunzione consista nella presentazione di 2 dimostrazioni distinte, una per ciascuno dei due membri della congiunzione;

2) una congiunzione di due proposizioni può essere usata entro le dimostrazioni per ottenere:

•          uno solo dei due membri della congiunzione

•           entrambi i membri della congiunzione.

Qui è il file pdf di ciò che ho scritto sulla lavagna in questa lezione.