Lezione 12 (28 ottobre): i connettivi principali della logica classica.

Ricordo le principali nozioni sui connettivi principali della ogica classica, trattate oggi:

- la concezione estensionale dei connettivi,

- la concezione vero-funzionale dei connettivi,

- i quattro modi (i quattro casi) in cui possono essere due proposizioni classiche,

- la tabella della congiunzione classica  (vera quando entrambi i membri sono veri, falsa negli altri 3 casi)

- la tabella della disgiunzione classica (la disgiunzione nel senso di  vel, falsa quando entrambi i membri sono falsi, vera negli altri 3 casi)

- la tabella della alternativa classica (la disgiunzione nel senso di aut, falsa quando i due membri hanno lo stesso valore, vera quando hanno valore diverso)

 - la tabella della implicazione classica (falsa quando il primo membro – l’antecedente -  è vero e il secondo membro – il conseguente - è falso, vera negli altri 3 casi)

- la tabella della equivalenza classica (vera quando i due membri hanno lo stesso valore, falsa quando hanno valore diverso).

Ho fatto vedere come l'implicazione "se A allora B" in logica classica sia la stessa cosa che "non-A oppure B" (oppure nel senso della disgiunzione classica), ossia che l'implicazione classica si può definire a partire dalla disgiunzione classica e dalla negazione classica.

Ho mostrato anche che  l'alternativa classica e la equivalenza classica si possano definire a partire dalla congiunzione classica, dalla disgiunzione classica e dalla negazione classica.

Chiarimenti?

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Lezione 11 (27 ottobre): approfondimenti e riepilogo sul secondo capitolo

Nella lezione di oggi ho provveduto a completare e a riepilogare il secondo capitolo (con alcuni approfondimenti e alcuni esercizi, e indicando la tipologie delle domande che nell'esonero potrebbero riguardare questo capitolo) e ad avviare la trattazione del terzo capitolo.

Domande?

lezione 10 (26 ottobre) : Dualità, principi e regole fondamentali in logica classica

Nella lezione di oggi ho presentato il principio fondamentale della logica classica: data una proposizione e la sua negazione, dalla refutazione di una delle due si ottiene la dimostrazione dell'altra, dalla falsità di una delle due si ottiene la verità dell'altra.

Ho poi illustrato tre letture importanti di quello stesso principio, letture che spesso sono considerati (erroneamente) principi diversi:

- il principio di non contraddizione: data una proposizione e la sua negazione, esse non possono essere entrambe vere (si potrebbe anche formulare dicendo: data una proposizione e la sua negazione, esse non possono essere entrambe false);

- il principio del terzo escluso: data una proposizione e la sua negazione, una delle due è vera (si potrebbe anche esprimere dicendo: data una proposizione e la sua negazione, una delle due è falsa);

- il principio di identità:  se A allora A (ossia, se A è vera allora A è vera); principio che si potrebbe anche esprimere dicendo: se A è falsa allora A è falsa.

Sono poi passato a spiegare tre regole importanti del nostro ragionamento:

•       la regola del modus ponens
•        la regola del modus tollens
•        la regola della transitività

Ho mostrato, quindi, che le tre regole precedenti - regole che dicono come si usano le dimostrazioni da ipotesi - sono casi particolari di una regola generale, chiomata regola del taglio.

La regola della conseguenza mirabile e la regola dell' "a fortiori" sono le regole caratteristiche della logica classica, nel senso che usare tale regole costringe ad accettare che le proposizioni siano BIT immutabili e dunque ad accettare la concezione della logica classica.

La premessa della regola della conseguenza mirabile (avere una dimostrazione di una proposizione A dalla sua negazione) obbliga a riconoscere che quella proposizione A è vera perché non può essere falsa (infatti la scoperta della falsità di A - ossia la scoperta della verità della sua negazione - porterebbe alla scoperta della verità di A, il che è impossibile).

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Lezione 9 (21 ottobre): proposizioni, dimostrazioni, refutazioni, dualità in logica classica.

La lezione di oggi ha introdotto la concezione classica delle proposizioni, delle dimostrazioni e delle refutazioni:

- una proposizione è un bit immutabile -- dove bit è qualcosa che può stare in uno e uno solo fra due stati diversi, uno stato 1 e uno stato 0  --- una concezione che è "estensionale, bivalente, spaziale e a-temporale"

- una dimostrazione di una proposizione A è qualcosa che fa scoprire che "A è 1" (che "A è vera"),

- una refutazione di una proposizione A è qualcosa che fa scoprire che "A è 0" (che "A è falsa").

Pertanto, una dimostrazione di A dall'ipotesi B è qualcosa che permette di passare dalla (scoperta della) verità dell'ipotesi B alla (scoperta della) verità della conclusione A e permette di passare dalla (scoperta della) falsità  della conclusione A alla (scoperta della) falsità della ipotesi B.

La negazione classica di una proposizione classica è il duale logico di quella proposizione, quando intendiamo proposizioni, dimostrazioni e refutazioni  secondo la loro concezione classica, ossia secondo la loro concezione entro la logica classica.

Il rapporto tra una proposizione A e la sua negazione classica è fissato nella tabella della negazione classica (se A è falsa allora la sua negazione classica è vera, se A è vera allora la sua negazione classica è falsa).

Una dimostrazione della negazione di A (la scoperta che la negazione di A è vera) è una refutazione di A ossia la scoperta che A è falsa; una refutazione della negazione di A (la scoperta che la negazione di A è falsa) è una dimostrazione di A (la scoperta che A è vera).

Una dimostrazione da ipotesi (qualcosa che permette di ottenere la verità della conclusione dalla verità dell'ipotesi, e la falsità della ipotesi dalla falsità della conclusione) è qualcosa che permette di dire che la negazione dell'ipotesi e la conclusione non possono essere entrambe false; qualcosa che permette te di dire che deve essere vera una di queste due proposizioni, la negazione dell'ipotesi e la conclusione.

Consiglio di svolgere gli esercizi indicati nel volume.

Lezione 8 (20 ottobre): Esercizi e approfondimenti sul capitolo 1; tipologie delle domande sul primo capitolo.

La prima domanda dell'esonero sarà su uno dei tempi principali trattati nel primo capitolo.

La tipologia delle domande sul primo capitolo è stata illustrata a lezione, ed è anche presentata nel capitolo 10 del volume.

Chiarimenti?

Lezione 7 (19 ottobre). Strategie, macchine, reti; organizzazione assiomatica.

Una strategia è caratterizzata dal suo obiettivo (una strategia per calcolare una operazione viene chiamata "programma" o "algoritmo", una strategia per accertare una proprietà o una relazione viene chiamata "test"), deve essere sempre qualcosa di finito e di concreto (ad esempio, un programma per una operazione deve permette di ottenere il valore dell'operazione per un suo argomento in un numero finito di passi e mediante atti concreti), può essere sequenziale (ossia eseguibile da un solo soggetto, da una Macchina) o non-sequenziale (ossia eseguibile solo con la presenza di più soggetto, ossia solo da Reti di Macchine).

L'organizzazione assiomatica di una disciplina consiste nel trovare un numero finito (il più piccolo possibile) di proposizioni accettate nella disciplina e di concetti capiti nella disciplina, tali che:

- usando quelle proposizioni come ipotesi,  mediante dimostrazioni logiche, si possono ottenere come conclusioni tutte le altre proposizioni accettate nella disciplina  

- partendo da quei concetti,  mediante definizioni logiche, si possono ottenere tutti gli altri concetti della disciplina.

Le proposizioni di una disciplina dalle quali si ottengono tutte le altre proposizioni accettate della disciplina mediante dimostrazioni logiche sono chiamate "Assiomi della disciplina"; i concetti di una disciplina dai quali si ottengono tutti gli altri concetti della disciplina mediante definizioni logiche sono chiamati "Concetti fondamentali o basilari della disciplina".

Quindi l'organizzazione assiomatica di una disciplina consiste nel trovare un numero finito (il più piccolo possibile) di assiomi e di concetti basilari di quella disciplina.

Sono pronto a rispondere a vostre domande!

Lezione 6: Classi e operazioni (14 ottobre)

Consiglio di considerare esempi delle principali proposizioni che si possono fare, in ogni disciplina, su due classi:

- la classe X è inclusa nella (è parte della) classe Y

- la classe X è disgiunta dalla classe Y

- la classe X ha elementi in comune con la classe Y

- la classe X ha elementi esterni alla classe Y.

Consiglio inoltre di

- considerare casi di classi finite che sono singoletti , coppie, triple, quadruple, ...

- considerare casi di classi finite ordinate che sono coppie ordinate, triple ordinate, quadruple ordinate, …

- riflettere sugli alberi finiti presentati a lezione (e riportati nel volume), e sui cammini in tali alberi.

Consiglio infine di considerare particolari operazioni, individuando per ciascuna di esse il dominio e il condominio.

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