Ventiduesima lezione: le proposizioni e i principi sulle classi

Questo blog si riferisce alla lezione che ho tenuto ieri, martedì 25 novembre, e che è stata dedicata alle proposizioni e ai principi sulle classi in logica classica.

Le proposizioni sulle classi sono:
- l'asserzione dell'appartenenza di un oggetto a una classe , e la sua negazione (l'asserzione che quell'oggetto è esterno a quella classe)
- l'asserzione che una classe X è parte di una classe Y, e la sua negazione (l'asserzione che la classe X ha elementi esterni alla classe Y)
- l'asserzione che una classe X condivide elementi con una cosse Y, e la sua negazione (l'asserzione che la classe X e la classe Y sono disgiunte).

Nella lezione ho mostrato come queste proposizioni vengono lette nella logica odierna.

I principi sulle classi sono:
- il principio di estensionalità, che risponde alla domanda "quando due classi X e Y sono uguali?" e asserisce che sono uguali quando "hanno gli stessi elementi";
- il principio di comprensione, che stabilisce il legame tra classi e proprietà asserendo che per ogni proprietà esiste una classe che le corrisponde (l'inverso  - ossia che ad ogni classe corrisponde una proprietà -  è anch'esso accettato ma è più evidente).

Nella lezione ho mostrato come vengono scritti nella logica contemporanea questi principi.

Gli insiemi sono classi che sono "oggetti", ossia che possono essere elementi di classi.

Nella lezione ho mostrato come siamo indotti a ritenere vero che "ci sono classi che sono insiemi".

Quale tra le due proposizioni "Ogni classe è un insieme" e "Ci sono classi che non sono insiemi" è vera?

Frege - e prima di lui altri filosofi e scienziati - hanno creduto che fosse vera la proposizione "Ogni classe è un insieme". Ma essa è falsa, come è stato scoperta nel 1904 con la sua "Antinomia". Dunque, è vera la proposizione "Ci sono classi che non sono insiemi".