mercoledì 29 novembre 2017

Lezione 22, mercoledì 29 novembre 2017 /

Nella lezione odierna terminerò l'esposizione dei temi che avevo previsto per la lezione di ieri.


martedì 28 novembre 2017

Lezione 21, martedì 28 novembre 2017 // Classi e insiemi, antinomia di Russell, operazioni sugli insiemi, insieme dei numeri naturali

Nella lezione di oggi spiegherò quelle parti della lezione di ieri che non sono riuscito a trattare adeguatamente per mancanza di tempo: la nozione di insieme (classe che è considerata come oggetto e quindi può essere elemento di una classe), e il principio di Frege “Ogni classe è un insieme”.

Successivamente, esporrò in dettaglio l'antinomia di Russell, ossia la dimostrazione che dal principio di Frege "Ogni classe è un insieme" si giunge a una falsità (usando il principio di estensionalità e il principio di comprensione).

Pertanto, l'antinomia di Russell (1902) mostra la falsità di "Ogni classe è un insieme" e la verità di "Qualche classe non è un insieme"; mostra anche alcuni esempi (fra i tanti) di classi che non possono essere "insiemi" ossia "oggetti" (la classe delle cose che non appartengono a se stesse,  e la classe totale ossia la classe di tutte le cose).

Passerò poi a definire
  • -       alcune classi che sono insiemi (in particolare l'insieme vuoto, mostrando a quale proprietà esso corrisponde), alcune operazioni che producono insiemi a partire da cose (singoletto, coppia, tripla, ..., n-pla...; coppia ordinata, tripla ordinata, ..., n-pla ordinata, ... ),
  • -       le operazioni di intersezione, di unione, di prodotto cartesiano e potenza,
  • -       l'insieme dei numeri naturali, e la nozione di "definizione induttiva" di un insieme.


Voglio sottolineare - come farò anche a lezione - l'importanza di queste nozioni: tanta parte della scienza moderna non si capisce senza possedere queste nozioni, tanta parte dell'informatica è basata su queste nozioni, le tabelle e il loro ampio uso odierno sono legate a queste nozioni.

lunedì 27 novembre 2017

Lezione 20, lunedì 27 novembre 2017 // Proposizioni e principi sulle classi, in logica classica

Nella lezione odierna, dopo aver riassunto i temi del capitolo 5, inizierò la spiegazione dei temi del capitolo successivo, dedicato alle classi nella logica classica.

Le proposizioni sulle classi sono:

- l'asserzione dell'appartenenza di un oggetto a una classe , e la sua negazione (l'asserzione che quell'oggetto è esterno a quella classe)
- l'asserzione che una classe X è parte di una classe Y, e la sua negazione (l'asserzione che la classe X ha elementi esterni alla classe Y)
- l'asserzione che una classe X condivide elementi con una cosse Y, e la sua negazione (l'asserzione che la classe X e la classe Y sono disgiunte).

Nella lezione mostrerò come queste proposizioni vengono lette nella logica odierna.

I principi sulle classi sono:

- il principio di estensionalità, che risponde alla domanda "quando due classi X e Y sono uguali?" e asserisce che sono uguali quando "hanno gli stessi elementi";
- il principio di comprensione, che stabilisce il legame tra classi e proprietà asserendo che per ogni proprietà esiste una classe che le corrisponde (l'inverso  - ossia che ad ogni classe corrisponde una proprietà -  è anch'esso accettato ma è più evidente).


Nella lezione mostrerò come vengono scritti nella logica contemporanea questi principi.

Gli insiemi sono classi che sono "oggetti", ossia che possono essere elementi di classi.

Nella lezione mostrerò come siamo indotti a ritenere vera la proposizione "Ci sono classi che sono insiemi", e falsa la proposizione “Nessuna classe è un insieme”.

Quale tra le due proposizioni "Ogni classe è un insieme" e "Ci sono classi che non sono insiemi" è vera?


Frege - e prima di lui altri filosofi e scienziati - hanno creduto che fosse vera la proposizione "Ogni classe è un insieme". Ma essa è falsa, come è stato scoperta da B. Russell nel 1904 con la sua "Antinomia". Dunque, è vera la proposizione "Ci sono classi che non sono insiemi".

mercoledì 22 novembre 2017

Lezione 19, mercoledì 22 novembre 2017 // Modello, comntromodello, un quadrato aristotelico

In questa lezione (non avendolo fatto nella lezione precedente) esporrò la nozione di modello e di contromodello di una formula del primo ordine,.

Spiegherò successivamente  - in riferimento alle formule del primo ordine - le nozioni di : "verità logica", "soddisfacibile", "falsità logica", "falsificabile": queste nozioni formano un "quadrato aristotelico" (la nozione di "verità logica" costituisce una proposizione universale affermativa la cui negazione è la nozione di "falsificabiltà" che è data da una proposizione particolare negativa, la nozione di "soddisfacibilità" costituisce una proposizione particolare affermativa la cui negazione è la nozione di "falsità logica" che è data da una proposizione universale negativa). 

Infine, - in riferimento a queste nozioni- ripresenterò i teoremi di incompletezza della logica ("ci sono formule del primo ordine la cui chiusura esistenziale è una proposizione logica vera (ossia la formula è soddisfacibile) ma non è dimostrabile logicamente") e e di completezza della logica del primo ordine ("per ogni formula del primo ordine, se la sua chiusura universale è una proposizione logica vera (ossia se la formula è una verità logica)   allora è dimostrabile logicamente").

martedì 21 novembre 2017

Lezione 18, martedì 21 novembre 2017 // Logica del primo ordine

In questa lezione completerò i temi della lezione precedente e presenterò  esempi di proposizioni del primo ordine,  di proposizioni che non sono del primo ordine, e di formule del primo ordine.

Esporrò poi la nozione di modello e di contromodello di una formula del primo ordine,.

Spiegherò successivamente  - in riferimento alle formule del primo ordine - le nozioni di : "verità logica", "soddisfacibile", "falsità logica", "falsificabile".


Infine, - in riferimento a queste nozioni- ripresenterò i teoremi di incompletezza della logica ("ci sono formule del primo ordine la cui chiusura esistenziale è una proposizione logica vera (ossia la formula è soddisfacibile) ma non è dimostrabile logicamente") e e di completezza della logica del primo ordine ("per ogni formula del primo ordine, se la sua chiusura universale è una proposizione logica vera (ossia se la formula è una verità logica)   allora è dimostrabile logicamente").

lunedì 20 novembre 2017

Lezione 17, lunedì 20 novembre 2017 // L'incompletezza della logica, la logica del primo ordine

Nella lezione odierna (la prima lezione della seconda unità didattica) ho parlato del teorema di incompletezza della logica, stabilito nel 1931 da Kurt Goedel, il teorema che dice

"Ci sono proposizione logiche che sono vere ma non sono dimostrabili logicamente (ossia con strumenti tutti interni alla logica)".

Questo teorema sancisce la non-autonomia della logica - e dunque rende improbabile l’autonomia delle altre discipline - poiché la logica non è capace di risolvere con i suoi metodi le sue questioni, di scoprire con i suoi metodi le sue verità: certe verità "logiche" si possono scoprire soltanto adoperando metodi esterni alla logica.

Gli esempi di proposizioni logiche che sono vere ma non sono dimostrabili logicamente si trovano fra le proposizioni che sono "chiusure esistenziali di formule del primo ordine". 

Invece, la logica risulta capace di scoprire con i suoi metodi la verità delle proposizioni logiche che sono "chiusure universali di formule del primo ordine": è il contenuto del Teorema di completezza della logica del primo ordine, dimostrato dallo steso Kurt Goedel nel 1929.

Da ciò viene la necessità di capire cosa sono le formule del primo ordine e poi cosa sono le chiusure esistenziali e le chiusure universali di tali formule.

Una formula del primo ordine è ciò che si ottiene da una proposizione del primo ordine "rimpiazzando ogni componente extra-logica con una variabile di tipo logico", come è spiegato nel libro e come ho spiegato nella lezione odierna (e continuerò nella lezione di domani).


Si ricordi che una proposizione del primo ordine, fra l'altro,  è una proposizione che "parla su un solo tipo di oggetti, e di proprietà, relazioni, operazioni su quel tipo" e che quantifica solo su variabili di quel tipo di oggetti ( e non su variabili per classi, per proposizioni, per predicati, per operazioni).

mercoledì 8 novembre 2017

Lezione 16, mercoledì 8 novembre 2017 // Proposizioni categoriche, sillogismi

In questa lezione, saranno presentate le proposizioni categoriche, le proposizioni che sono state studiate sin dall'antichità e che costituiscono la forma generale di moltissime (se non di tutte) le proposizioni che si fanno nelle diverse discipline. Ci sono quattro forme di proposizioni categoriche:

- le proposizioni universali affermative: "Ogni P è Q"
- le proposizioni particolari affermative : "Qualche P è Q"
- le proposizioni universali negative: "Nessun P è Q" ossia "Ogni P non è Q"
- le proposizioni particolari negative : "Qualche P non è Q"

P,Q sono chiamati "termini" e sono spesso degli aggettivi o delle locuzioni anche complesse che svolgono il ruolo di un aggettivo. Ciò che precede la copula "è" (nel nostro caso, P) è detto "soggetto" e  quel che segue la copula "è" (nel nostro caso, Q) è detto "predicato"

Esempi di queste proposizioni sono dati nel volume.


Quel che va saputo e ricordato è il fatto che - fissati P e Q - le quattro proposizioni categoriche che si formano con il "soggetto" P e il "predicato" Q vengono collocate ai vertici di un quadrato, in alto le proposizioni universali  e in basso quelle esistenziali, a destro quelle affermative e a sinistra quelle negative: le diagonali di questo quadrato collegano  le proposizioni che sono tra loro "contraddittorie" (la proposizione universale affermativa e quella particolare negativa, la proposizione particolare affermativa e quella universale negativa).

I sillogismi sono regole di inferenza che hanno come premesse due proposizioni categoriche e come conclusione una proposizione categorica. Nella lezione mostrerò i quattro sillogismi più importanti, detti "della prima figura".

Infine mostrerò come vengono lette oggi le proposizioni categoriche, usando i quantificato e i  connettivi. 

La lezione sarà conclusa con un ripasso del quarto capitolo, e un riepilogo generale della prima unità didattica (primi quattro capitoli).