martedì 17 ottobre 2017

Lezione 8, martedì 17 ottobre 2017 // Principi e regole fondamentali della logica classica


Nella lezione di oggi presento il principio fondamentale della logica classica: data una proposizione e la sua negazione, dalla refutazione di una delle due si ottiene la dimostrazione dell'altra, dalla falsità di una delle due si ottiene la verità dell'altra. 

Ci sono tre letture importanti di quello stesso principio, letture che spesso sono considerati (erroneamente) principi diversi:
- il principio di non contraddizione: data una proposizione e la sua negazione, esse non possono essere entrambe vere (si potrebbe anche formulare dicendo: data una proposizione e la sua negazione, esse non possono essere entrambe false);
- il principio del terzo escluso: data una proposizione e la sua negazione, una delle due è vera (si potrebbe anche esprimere dicendo: data una proposizione e la sua negazione, una delle due è falsa);
- il principio di identità:  se A allora A (ossia, se A è vera allora A è vera); principio che si potrebbe anche esprimere dicendo: se A è falsa allora A è falsa.

Nella lezione di oggi passo poi a spiegare tre regole importanti del nostro ragionamento: 


•         la regola del modus ponens
•          la regola del modus tollens
•          la regola della transitività


Ho mostrato, quindi, che le tre regole precedenti - regole che dicono come si usano le dimostrazioni da ipotesi - sono casi particolari di una regola generale, chiomata regola del taglio. 

La regola della conseguenza mirabile e la regola dell' "a fortiori" sono le regole caratteristiche della logica classica, nel senso che usare tale regole costringe ad accettare che le proposizioni siano BIT immutabili e dunque ad accettare la concezione della logica classica.

La premessa della regola della conseguenza mirabile (avere una dimostrazione di una proposizione A dalla sua negazione) obbliga a riconoscere che quella proposizione A è vera perché non può essere falsa (infatti la scoperta della falsità di A - ossia la scoperta della verità della sua negazione - porterebbe alla scoperta della verità di A, il che è impossibile).


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lunedì 16 ottobre 2017

Lezione 7, lunedì 16 ottobre 2017 // Logica classica: proposizioni, dimostrazioni, refutazione, dualità

La lezione di oggi ha introdotto la concezione classica delle proposizioni, delle dimostrazioni e delle refutazioni:
  • una proposizione è un bit immutabile -- dove bit è qualcosa che può stare in uno e uno solo fra due stati diversi, uno stato 1 e uno stato 0  --- una concezione che è "estensionale, bivalente, spaziale e a-temporale"
  • una dimostrazione di una proposizione A è qualcosa che fa scoprire che "A è 1" (che "A è vera"),
  • una refutazione di una proposizione A è qualcosa che fa scoprire che "A è 0" (che "A è falsa"). 

Pertanto, una dimostrazione di A dall'ipotesi B è qualcosa che permette di passare 
  • dalla (scoperta della) verità dell'ipotesi B alla (scoperta della) verità della conclusione A 
  • dalla (scoperta della) falsità  della conclusione A alla (scoperta della) falsità della ipotesi B.

La negazione classica di una proposizione classica è il duale logico di quella proposizione, quando intendiamo proposizioni, dimostrazioni e refutazioni  secondo la loro concezione classica, ossia secondo la loro concezione entro la logica classica. 

Il rapporto tra una proposizione A e la sua negazione classica è fissato nella tabella della negazione classica (se A è falsa allora la sua negazione classica è vera, se A è vera allora la sua negazione classica è falsa). 

Una dimostrazione della negazione di A (la scoperta che la negazione di A è vera) è una refutazione di A ossia la scoperta che A è falsa; una refutazione della negazione di A (la scoperta che la negazione di A è falsa) è una dimostrazione di A (la scoperta che A è vera).

Una dimostrazione da ipotesi - in logica classica - è qualcosa che permette di ottenere la verità della conclusione dalla verità dell'ipotesi, e la falsità della ipotesi dalla falsità della conclusione, ed è dunque qualcosa che permette di dire che 
  • la negazione dell'ipotesi e la conclusione non possono essere entrambe false; 
  • deve essere vera una di queste due proposizioni, la negazione dell'ipotesi e la conclusione. 


Consiglio di svolgere gli esercizi indicati nel volume.

mercoledì 11 ottobre 2017

Lezione 6, mercoledì 11 ottobre 2017 // Organizzazione assiomatica delle discipline

L'organizzazione assiomatica di una disciplina consiste nel trovare un numero finito (il più piccolo possibile) di proposizioni accettate nella disciplina e di concetti capiti nella disciplina, tali che:
  • usando quelle proposizioni come ipotesi,  mediante dimostrazioni logiche, si possono ottenere come conclusioni tutte le altre proposizioni accettate nella disciplina  
  • partendo da quei concetti,  mediante definizioni logiche, si possono ottenere tutti gli altri concetti della disciplina.


Le proposizioni di una disciplina dalle quali si ottengono tutte le altre proposizioni accettate della disciplina mediante dimostrazioni logiche sono chiamate "Assiomi della disciplina"; i concetti di una disciplina dai quali si ottengono tutti gli altri concetti della disciplina mediante definizioni logiche sono chiamati "Concetti fondamentali o basilari della disciplina".

Quindi l'organizzazione assiomatica di una disciplina consiste nel trovare un numero finito (il più piccolo possibile) di assiomi e di concetti basilari di quella disciplina.


martedì 10 ottobre 2017

Lezione 5, martedì 10 ottobre 2017 // Operazioni, proprietà, relazioni, strategie, macchine, reti



OPERAZIONI

Consiglio di considerare particolari operazioni, individuando per ciascuna di esse il dominio  (la classe di partenza dell’operazione, la classe dei possibili input o argomentoi dell’operazione) e il codominio (la classe che contiene i valori, i risultati, gli output dell’operazione).

PROPRIETA' e RELAZIONI

Le proprietà su una classe X vengono viste oggi – nelle scienze e nell’informatica – come operazioni unarie da X alla classe delle proposizioni.

Le relazioni n-arie su una classe X vengono viste oggi – nelle scienze e nell’informatica – come operazioni n-arie da X alla classe elle proposizioni.

STRATEGIE, MACCHINE, RETI

Una strategia 
  • è caratterizzata dal suo obiettivo (una strategia per calcolare una operazione viene chiamata "programma" o "algoritmo", una strategia per accertare una proprietà o una relazione viene chiamata "test"), 
  • deve essere sempre qualcosa di finito e di concreto (ad esempio, un programma per una operazione deve permette di ottenere il valore dell'operazione per un suo argomento in un numero finito di passi e mediante atti concreti), 
  • può essere sequenziale (ossia eseguibile da un solo soggetto, da una Macchina) o non-sequenziale (ossia eseguibile solo con la presenza di più soggetto, ossia solo da Reti di Macchine).



lunedì 9 ottobre 2017

Lezione n. 4, lunedì 9 ottobre 2017 // Classi e operazioni

I punti salienti della lezione di oggi:

a) La nozione di classe, e di elemento di una classe;

b) le principali proposizioni che si possono fare parlando di classi. 

c) la nozione di operazione. 

Consiglio di considerare esempi delle principali proposizioni che si possono fare, in ogni disciplina, su due classi:

- la classe X è inclusa nella (è parte della) classe Y
- la classe X è disgiunta dalla classe Y (le classi X e Y sono separate)
- la classe X ha elementi in comune con la classe Y (le classi X e Y hanno qualcosa in comune)
- la classe X ha elementi esterni (ha qualcosa esterno) alla classe Y.

Consiglio inoltre di
- considerare casi di classi finite che sono singoletti , coppie, triple, quadruple, ..., n-ple, ...
- considerare casi di classi finite ordinate che sono coppie ordinate, triple ordinate, quadruple ordinate, …, n-ple ordinate, ... 



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mercoledì 4 ottobre 2017

Lezione 3 , mercoledì 4 ottobre 2017 // Dualità

PROPOSIZIONI DUALI

Consiglio di considerare esempi 
  • coppie di proposizioni che sono duali sotto due punti di vista alternativi,  
  • coppie di proposizioni che sono logicamente duali .


Si deve ricordare che:

  • due proposizioni sono logicamente duali quando le dimostrazioni di una sono le refutazioni dell'altra e le refutazioni di una sono le dimostrazioni dell'altra;
  • data una proposizione A, c'è una sola proposizione che è logicamente duale ad A , e questa proposizione viene chiamata "il duale logico di A" o "la negazione di A" o "la contraddittoria di A".



Alcuni punti salienti della lezione di oggi:

a) ogni dimostrazione di A da B è anche una dimostrazione del duale logico di B dal duale logico di A: lo stesso oggetto che è una dimostrazione la cui conclusione è A e la cui ipotesi è B può essere "visto" come una dimostrazione la cui conclusione è il duale logico di B e la cui ipotesi è il duale logico di A;
 
b) si ha comunicazione tra due processi (o tra due dimostrazioni) quando i due processi sono distinti e uno dei due ha come output (conclusione) ciò che l'altro ha come input (ipotesi), ossia quando uno dei due "produce" ciò che l'altro "attende":
 
c) nella comunicazione tra due dimostrazioni (e nella comunicazione tra processi economici) il ruolo attivo non è giocato esclusivamente da una sola delle due ma da entrambe.
 
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