Nella lezione odierna ho svolto alcuni "esercizi" relativi ai temi del quinto capitolo: come accertare che una proposizione è una proposizione del primo ordine, come accertare che un insieme di proposizioni è un insieme di proposizioni del primo ordine, come "formalizzare" (ossia come trasformare in formule logiche del primo ordine) una proposizione del primo ordine e un insieme di formule del primo ordine, trovare modelli e trovare contromodelli di formule logiche del primo ordine, come è fatta la chiusura universale di una formula del primo ordine, come è fatta la chiusura esistenziale di una formula del primo ordine.
Sono tornato sul quadrato aristotelico costituito dalle proposizioni logiche "A è una verità logica" (chiusura universale di A), "A è soddisfacibile" (chiusura esistenziale di A), "A è una falsità logica" (chiusura universale di non-A) , "A è falsificabile" (chiusura esistenziale di non-A). E ho aggiunto la spiegazione di un altro quadrato aristotelico, quello costituito dalle proposizioni "A è conseguenza logica di M" e "A è compatibile con M" e dalle loro negazioni.
Ho ripreso il tema delle dimostrazioni logiche e ho parlato anche delle "dimostrazioni analitiche": una dimostrazione analitica è una dimostrazione nella quale si usano solo i concetti presenti nella proposizione che viene dimostrata, ossia una dimostrazione condotta interamente "entro" i concetti presenti nella proposizione dimostrata.
Ho ricordato ancora una volta il teorema di incompletezza della logica, stabilito da Goedel nel 1931, osservando che questo teorema sancisce anche che esistono proposizioni vere che non possono essere dimostrate con dimostrazioni analitiche.
Ho anche indicato la tipologia delle domande possibili sul capitolo quinto.
Sono tornato sul quadrato aristotelico costituito dalle proposizioni logiche "A è una verità logica" (chiusura universale di A), "A è soddisfacibile" (chiusura esistenziale di A), "A è una falsità logica" (chiusura universale di non-A) , "A è falsificabile" (chiusura esistenziale di non-A). E ho aggiunto la spiegazione di un altro quadrato aristotelico, quello costituito dalle proposizioni "A è conseguenza logica di M" e "A è compatibile con M" e dalle loro negazioni.
Ho ripreso il tema delle dimostrazioni logiche e ho parlato anche delle "dimostrazioni analitiche": una dimostrazione analitica è una dimostrazione nella quale si usano solo i concetti presenti nella proposizione che viene dimostrata, ossia una dimostrazione condotta interamente "entro" i concetti presenti nella proposizione dimostrata.
Ho ricordato ancora una volta il teorema di incompletezza della logica, stabilito da Goedel nel 1931, osservando che questo teorema sancisce anche che esistono proposizioni vere che non possono essere dimostrate con dimostrazioni analitiche.
Ho anche indicato la tipologia delle domande possibili sul capitolo quinto.
buonasera prof, volevo un chiarimento. non ho capito qual'è la negazione di una proposizione universale, e di una proposizione esistenziale?
RispondiEliminaGrazie. Clarissa
la negazione di una proposizione universale "per ogni x:T, A(x)" è la proposizione esistenziale "per qualche x:T, non A(x)"
Eliminala negazione di una proposizione esistenziale "per qualche x:T, A(x)" è la proposizione universale "per ogni x:T, non A(x)"
Pertanto:
- la negazione della chiusura universale di una formula del primo ordine A è la chiusura esistenziale della formula non-A
- la negazione della chiusura esistenziale di una formula del primo ordine A è la chiusura universale della formula non-A.
Salve Prof.
RispondiEliminami puo fare un esempio concreto di una formula A del primo ordine tale che la chiusura esistenziale di A è vera ma non è dimostrabile logicamente? Un esempio del teorema di incompletezza insomma. Sul libro dice che un esempio puo essere trovato nell'aritmetica ma non specifica quale....grazie in anticipo.