Venticinquesima lezione: integrazioni, approfondimenti, esercizi e riepilogo su classi e insieme

Questo blog si riferisce alla lezione che ho tenuto ieri, sabato 29 novembre.

Nella lezione ho spiegato alcune parti del capitolo su "classi e insiemi" che non avevo avuto il tempo di spiegare nelle lezioni precedenti:

a) le proprietà che può avere una funzione, e in particolare le nozioni di "funzione totale", "funzione iniettiva", "funzione suriettiva" e "funzione biettiva" (o "corrispondenza biunivoca"); si tratta di nozioni che hanno una notevole importanza nel nostro trattare con le classi e gli insiemi;

b) la nozione di "insieme equipotenti" (due insiemi sono equipollenti quando esiste tra loro una corrispondenza biunivoca, ossia intuitivamente quando "hanno lo stesso "numero di elementi"), e il grande risultato ottenuto da Canto con la scoperta che "ci sono insieme infiniti non equipotenti" ossia che si può considerare una "gradazione" degli insieme infiniti così come c'è una "gradazione" degli insieme finiti;

c) il principio di estensionalità sulle funzioni (una funzione si caratterizza per il suo "grafo", due funzioni che hanno lo stesso grafo sono uguali), e la nozione di "estensione" di una proprietà;

d) la nozione di "intersezione su un insieme" e quella di "unione su un insieme".

Nella lezione ho anche fatto un riepilogo del capitolo su classi e insieme, indicando anche la tipologia delle domande che potrebbero concernere questo capitolo, e ho svolto alcuni esercizi sulle principali operazioni insiemistica (intersezione, unione, prodotto cartesiano e potenza).

Ventiquattresima lezione: alcune importanti nozioni sugli insiemi

Questo post si riferisce alla lezione che si è svolta giovedì 27 novembre.

I temi trattati sono stati:
- esempi di prodotti cartesiani
- l'operazione "potenza di un insieme" e esempi
- l'insieme dei numeri naturali, e la nozione di "definizione induttiva" di un insieme
- le successioni finite di elementi di un insieme, e l'insieme di tutte le successioni finite di elementi di un insieme
- la nozione di funzione entro la concezione classica degli insieme, e le nozioni di "rango di una funzione" (un sottoinsieme del condominio, costituite dai valori assegnati dalla funzione quando è applicata agli elementi del dominio) e di "grafo di una funzione" (un sottoinsieme del prodotto cartesiano del dominio e del condominio, una sorta di "tabella" della funzione).

Voglio sottolineare - come ho fatto a lezione - l'importanza di queste nozioni: tanta parte della scienza moderna non si capisce senza possedere queste nozioni, tanta parte dell'informatica è basata su queste nozioni, le tabelle e il loro ampio uso odierno sono legate a queste nozioni.

Ventitreesima lezione: l'antinomia di Russell, alcuni insiemi, alcune operazioni sugli insiemi

In questa lezione ho esposto in dettaglio l'antinomia di Russell, ossia la dimostrazione che dal principio di Frege "Ogni classe è un insieme" si giunge a una falsità (usando il principio di estensionalità e il principio di comprensione).

Pertanto, l'antinomia di Russell (1904) mostra la falsità di "Ogni classe è un insieme" e la verità di "Qualche classe non è un insieme"; mostra anche alcuni esempi (fra i tanti) di classi che non possono essere "insiemi" ossia "oggetti" (la classe delle cose che non appartengono a se stesse,  e la classe totale ossia la classe di tutte le cose).

Ho provveduto poi a definire alcune classi che sono insiemi (in particolare l'insieme vuoto, mostrando a quale proprietà esso corrisponde), alcune operazioni che producono insiemi a partire da cose (singoletto, coppia, tripla, ..., n-pla...; coppia ordinata, tripla ordinata, ..., n-pla ordinata, ... ), e le operazioni di intersezione, di unione e di prodotto cartesiano.

Domande?

Chiarimenti?

Commenti?

Ventiduesima lezione: le proposizioni e i principi sulle classi

Questo blog si riferisce alla lezione che ho tenuto ieri, martedì 25 novembre, e che è stata dedicata alle proposizioni e ai principi sulle classi in logica classica.

Le proposizioni sulle classi sono:
- l'asserzione dell'appartenenza di un oggetto a una classe , e la sua negazione (l'asserzione che quell'oggetto è esterno a quella classe)
- l'asserzione che una classe X è parte di una classe Y, e la sua negazione (l'asserzione che la classe X ha elementi esterni alla classe Y)
- l'asserzione che una classe X condivide elementi con una cosse Y, e la sua negazione (l'asserzione che la classe X e la classe Y sono disgiunte).

Nella lezione ho mostrato come queste proposizioni vengono lette nella logica odierna.

I principi sulle classi sono:
- il principio di estensionalità, che risponde alla domanda "quando due classi X e Y sono uguali?" e asserisce che sono uguali quando "hanno gli stessi elementi";
- il principio di comprensione, che stabilisce il legame tra classi e proprietà asserendo che per ogni proprietà esiste una classe che le corrisponde (l'inverso  - ossia che ad ogni classe corrisponde una proprietà -  è anch'esso accettato ma è più evidente).

Nella lezione ho mostrato come vengono scritti nella logica contemporanea questi principi.

Gli insiemi sono classi che sono "oggetti", ossia che possono essere elementi di classi.

Nella lezione ho mostrato come siamo indotti a ritenere vero che "ci sono classi che sono insiemi".

Quale tra le due proposizioni "Ogni classe è un insieme" e "Ci sono classi che non sono insiemi" è vera?

Frege - e prima di lui altri filosofi e scienziati - hanno creduto che fosse vera la proposizione "Ogni classe è un insieme". Ma essa è falsa, come è stato scoperta nel 1904 con la sua "Antinomia". Dunque, è vera la proposizione "Ci sono classi che non sono insiemi".

Ventunesima lezione: esercizi, approfondimenti e riepilogo sul quinto capitolo

Nella lezione odierna ho svolto alcuni "esercizi" relativi ai temi del quinto capitolo: come accertare che una proposizione è una proposizione del primo ordine, come accertare che un insieme di proposizioni è un insieme di proposizioni del primo ordine, come "formalizzare" (ossia come trasformare in formule logiche del primo ordine) una proposizione del primo ordine e un insieme di formule del primo ordine, trovare modelli e trovare contromodelli di formule logiche del primo ordine, come è fatta la chiusura universale di una formula del primo ordine, come è fatta la chiusura esistenziale di una formula del primo ordine.

Sono tornato sul quadrato aristotelico costituito dalle proposizioni logiche "A è una verità logica" (chiusura universale di A), "A è soddisfacibile" (chiusura esistenziale di A), "A è una falsità logica" (chiusura universale di non-A) , "A è falsificabile" (chiusura esistenziale di non-A).  E ho aggiunto la spiegazione di un altro quadrato aristotelico, quello costituito dalle proposizioni "A è conseguenza logica di M" e "A è compatibile con M" e dalle loro negazioni.

Ho ripreso il tema delle dimostrazioni logiche e ho parlato anche delle "dimostrazioni analitiche": una dimostrazione analitica è una dimostrazione nella quale si usano solo i concetti presenti nella proposizione che viene dimostrata, ossia una dimostrazione condotta interamente "entro" i concetti presenti nella proposizione dimostrata.

Ho ricordato ancora una volta il teorema di incompletezza della logica, stabilito da Goedel nel 1931,  osservando che questo teorema sancisce anche che esistono proposizioni vere che non possono essere dimostrate con dimostrazioni analitiche.

Ho anche indicato la tipologia delle domande possibili sul capitolo quinto.

Ventesima lezione: modello/contromodello di una formula, chiusura universale e chiusura esistenziale di una formula, un quadrato aristotelico

I principali temi della lezione di oggi sono stati:

a) la nozione di modello e la nozione di contromodello di una formula del primo ordine (modello di una formula è un'attribuzione di valori per le variabili con la quale la formula si trasforma in una proposizione vera, contromodello di una formula è un'attribuzione di valori per le variabili con la quale la formula si trasforma in una proposizione falsa),

b) la nozione di chiusura universale e quella di chiusura universale di una formula (sono entrambe proposizioni logiche)

c) il quadrato costituito dalla proposizioni logiche "A è una legge logica" (la chiusura universale di A è vera), "A è una falsità logica" (la chiusura universale della negazione di A è falsa), "A è soddisfacibile" (la chiusura esistenziale di A è vera) , "A è falsificabile" (la chiusura esistenziale della negazione di A è vera),

d) il teorema di incompletezza di Goedel ( "ci sono proposizioni logiche vere che non sono dimostrabili logicamente", ed esempi di tali proposizioni si trovano fra le chiusure esistenziali delle formule del primo ordine).




Qualche domanda?  Qualche commento?

Diciannovesima lezione: introduzione alla logica del primo ordine e al teorema di incompletezza della logica.

Questo blog si riferisce alla lezione che ho tenuto giovedì scorso, 13 novembre: la prima lezione della seconda unità didattica.

Ho parlato del teorema di incompletezza della logica, stabilito nel 1931 da Kurt Goedel, il teorema che dice"Ci sono proposizione logiche che sono vere ma non sono dimostrabili logicamente 8ossia con strumenti tutti interni alla logica)". Questo teorema sancisce la non-autonomia della logica - e dunque rende improbabile la autonomia delle altre discipline - poiché la logica non è capace di risolvere con i suoi metodi le sue questioni, di scoprir con i suoi metodi le sue verità: certe verità "logiche" si possono scoprire soltanto adoperando metodi esterni alla logica?

Gli esempi di proposizioni logiche che sono vere ma non sono dimostrabili si trovano fra le proposizioni che sono "chiusure esistenziali di formule del primo ordine". Invece, la logica risulta capace di scoprire con i suoi metodi la verità delle proposizioni logiche che sono "chiusure esistenziali di formule del primo ordine".

Da ciò viene la necessità di capire cosa sono le formule del primo ordine (e poi cosa sono le chiusure esistenziali e le chiusure universali di tali formule).

Una formula del primo ordine è ciò che si ottiene da una proposizione del primo ordine "rimpiazzando ogni componente extra-logica con una variabile di tipo logico", come è spiegato nel libro e come riprenderò a spiegare nella prossima lezione.

Si ricordi che una proposizione del primo ordine, fra l'altro,  è una proposizione che "parla di un solo tipo di oggetti, e di proprietà, relazioni, operazioni su quel tipo" e che quantifica solo su variabili di quel tipo di oggetti ( e non su variabili per proposizioni, per predicati, per fregagioni, per operazioni).

Domande?

Chiarimenti?

Diciottesima lezione: riepilogo sulla prima unità didattica.

Questo blog si riferisce alla lezione svoltasi sabato scorso, 8 novembre, nella quale ho provveduto a un riepilogo dei principali temi della prima unità didattica, finalizzato all'esonero che si è tenuto l'11 novembre con la partecipazione di ben 309 studenti (su 330 prenotazioni).

Con soddisfazione, ho riscontrato come gli studenti abbiano sostenuto l'esonero rispettando in pieno l'orario (in ciascuno dei quattro gruppi, non c'è stato nessuno studente che sia arrivato in ritardo rispetto all'appello, e davvero sono riuscito con la collaborazione di tutti gli studenti a terminare i quattro gruppi esattamente alle ore 19) e  la disciplina (c'è stato assoluto silenzio durante lo svolgimento dei compiti), come nelle migliori università.

Ho corretto da solo tutti i compiti: posso aver commesso errori, poiché sarebbe strano che non abbia commesso alcun errore su 309 compiti! E pertanto mi fa piacere che chi ha qualche dubbio sul punteggio assegnato al suo compito venga a trovarmi, a consultare il compito, a verificare la correttezza della valutazione o a contribuire (se c'è stato un errore) a modificarla.

Sono rimasto soddisfatto dei risultati dell'esonero: posso dire che la grande maggioranza degli studenti che hanno partecipato all'esonero ha compreso sufficientemente - e in non pochi casi anche eccellentemente - i temi trattati nelle lezioni, acquisendo contenuti concettuali talvolta non facili e capacità di ragionamento abbastanza elevate che potranno essere sicuramente utili per la loro specifica formazione universitaria e in generale per la preparazione alla  futura loro attività lavorativa.

Mi piacerebbe che nei commenti a questo post  mi venissero forniti suggerimenti per migliorare il corso (anche con critiche ad eventuali difetti).

Grazie a tutti gli studenti!

Diciassettesima lezione: quantiifcatori, proposizioni categoriche. Riepilogo sul quarto capitolo.

Questo post viene scritto in sostituzione - e non come complemento - della lezione che non si è potuta tenere per effetto delle disposizioni del Rettore in seguito all'allerta "maltempo".

Esporrò i temi che intendevo trattare nella lezione, temi che riprenderò sabato mattina: e sono pronto a rispondere agli studenti che leggeranno questo post.

Il primo tema è il completamento delle regole di dimostrazione e di uso dei quantificatori. Mancava la regola di uso delle proposizioni quantificate esistenzialmente, regola esposta alla fionde della pagina 115 del volume. Dall'ipotesi (dall'informazione) che "per qualche x di tipo T, vale A[x]" si può passare a dire che vale A[a] per uno specifico oggetto a di tipo T sul quale nel proseguire la dimostrazione non si usa nient'altro che le proprietà che gli spettano in quanto oggetto di tipo T -- ossia per uno specifico oggetto a che svolgerà nel proseguire la dimostrazione il ruolo di oggetto generico di tipo T.

Il secondo tema è quello delle proposizioni categoriche, le proposizioni che sono state studiate sin dall'antichità e che costituiscono la forma generale di moltissime (se non di tutte) le proposizioni che si fanno nelle diverse discipline.

Ci sono quattro forme di proposizioni categoriche - illustrate a pagina 116: e 117

- le proposizioni universali affermative: "Ogni P è Q"
- le proposizioni particolari affermative : "Qualche P è Q"
- le proposizioni universali negative: "Nessun P è Q" ossia "Ogni P non è Q"
- le proposizioni particolari negative : "Qualche P non è Q"

P,Q sono chiamati "termini" e sono spesso degli aggettivi o delle locuzioni anche complesse che svolgono il ruolo di un aggettivo. Ciò che precede la copula "è" (nel nostro caso, P) è detto "soggetto" e  quel che segue la copula "è" (nel nostro caso, Q) è detto "predicato"

Esempi di queste proposizioni sono dati nel volume.

Quel che va saputo e ricordato è il fatto che - fissati P e Q - le quattro proposizioni categoriche che si formano con il "soggetto" P e il "predicato" Q vengono collocate ai vertici di un quadrato, in alto le proposizioni universali  e in basso quelle esistenziali, a destro quelle affermative e a sinistra quelle negative: le diagonali di questo quadrato collegano  le proposizioni che sono tra loro "contraddittorie" (la proposizione universale affermativa e quella particolare negativa, la proposizione particolare affermativa e quella uni versale negativa).

Bisogna anche sapere e ricordare le quattro regole di ragionamento che concernono le proposizioni categoriche, e che sono chiamate "sillogismi", illustrate fra la pagina 117 e la pagina 118: BARBARA, CELARENT, DARII, FERIO.

Prendiamo - ad esempio - il sillogismo BARBARA:  esso consiste in due premesse ("Ogni M è P" , "Ogni S è M")  e in una conclusione ("Ogni S è P"), accettando le due premesse  siamo costretti ad accettare anche la conclusione quale che sia il contenuto di S, P, M. Ed è bene che ciascuno faccia esempi concreti di un sillogismo BARBARA (specificando S, P, M) e si convinca che accettando le premesse è costretto ad accettare la conclusione.

Bisogna infine sapere e ricordare come le quattro proposizioni categoriche vengono "lette" nella logica almeno a partire dall'inizio della logica matematica nell'ottocento: si tratta di due letture, spiegate nelle pagine 118-119.

Con le due letture si capisce bene che le proposizioni "contraddittore" sono l'una la negazione classica dell'altra, e che dalle premesse di un sillogismo attraverso le regole che abbiamo imparato sui connettivi e sui quantificatoti si arriva alla conclusione dello stesso sillogismo.

C'è qualcuno che è in linea e ha qualcosa da chiedere?

Così posso proseguire il post rispondendo alle domande...

RIASSUNTO DEL QUARTO CAPITOLO, TIPOLOGIA DELLE DOMANDE POSSIBILI

Come ormai sanno (credo) tutti gli studenti, la quarta domanda dell'esonero riguarda temi trattati nel quarto capitolo.

In considerazione del fatto che alcuni temi dovevano essere trattati nella lezione odierna, che non ha avuto luogo, la quarta domanda dell'esonero riguarderà esclusivamente temi trattati nelle lezioni di martedì 4 e di mercoledì 5.

Esempi di domande:

cosa vuol dire A[a:T]      (in generale, o fornendo una proposizione specifica... )   --- la proposizione A dove è stata evidenziata la componente a e ad essa è stata attribuito il tipo T

cosa vuol dire "occorrenze di una componente in una proposizione"

Cosa è una variabile, cosa è il tipo di una variabile,  a cosa serve il nome di una variabile (v.pag. 108, 109)

Cosa vuole dire "sostituzione" di una variabile con un suo valore (v. pag. 108)

I tipi speciali: quali sono?

Quando è vera e quando è falsa una proposizione quantificata universalmente (in generale, o in riferimento a un caso concreto)

Quando è vera e quando è falsa una proposizione quantificata esistenzialmente (in generale, o in riferimento a una proposizione specifica).

Qual è la negazione di una proposizione quantificata universalmente?  Qual è la negazione di una proposizione quantificata esistenzialmente? (in generale, o in riferimento a una proposizione specifica).

Cos'è una dimostrazione di una proposizione quantificata universalmente (si veda cosa è scritto  fra pag. 114, e la spiegazione di ieri).

Come si dimostra una proposizione quantificata esistenzialmente (si veda ciò che è scritto a pag. 114 regola 1)


DOMANDE FACOLTATIVE

Era prevista una sola domanda facoltativa - la cui risposta è valutata al massimo 1 punto -  che può riguardare qualunque argomento di qualunque capitolo (e che può servire per recuperare qualche punto  perso nelle risposte alle domande obbligatorie o per avere la lode... ).

Ho intenzione di presentare una seconda domanda facoltativa - la cui risposta verrà valutata anch'essa al massimo 1 punto : una domanda su uno dei temi del quarto capitolo che dovevano essere trattati nella lezione di oggi,  sono stati elencati in questo post e saranno oggetto della prima parte della lezione di sabato.

Così verrà "premiato" chi è riuscito a capire anche questi importanti temi  nonostante l'annullamento della lezione odierna , e non verranno penalizzati gli altri studenti.


....


Domande?

Sedicesima lezione: i quantificatori

Nella lezione odierna sono stati definiti il quantificatore universale classico (con il quale si forma la proposizione classica quantificata universalmente "per ogni x di tipo T, vale A[x]")  e il quantificatore esistenziale classico (con il quale di forma la proposizione classica quantificata esistenzialmente "per qualche x di tipo T, vale A[x]").

Si è precisato quando è vera e quando è falsa una proposizione classica quantificata universalmente,  e quando è vera e quando è falsa una proposizione classica quantificata esistenzialmente.

Si è poi fissato qual è la negazione di una proposizione quantificata universalmente e qual è la negazione di una proposizione quantificata esistenzialmente: la negazione di "per  ogni x di tipo T, vale A[x]" è "per qualche x di tipo T, vale la negazione di  A[x]", e la negazione di "per qualche x di tipo T, vale A[x]" è "per ogni x di tipo T, vale la negazione di A[x]".

Sono state infine illustrate le regole per dimostrare e per usare le proposizioni quantificate. Le regole più interessanti (e non banali) sono quelle quelle per dimostrare una proposizione quantificata universalmente e per usare una proposizione quantificata esistenzialmente (quest'ultima regola sarà illustrata nella lezione di domani).

Quindicesima lezione: componenti di una proposizione, tipo di una componente, variabili

Nella lezione di oggi i concetti centrali sono stati:

a) la focalizzazione (o evidenziazione) di componenti entro una proposizione (attività libera), e il fatto che una stessa componente può avere più presenze (dette "occorrenze") entro una proposizione;

b) l'attribuzione di un tipo a ciascuna delle componenti focalizzate (o evidenziate) -- attività libera, ma una volta che si comincia ad attribuire un tipo ad una componente sono precluse certe attribuzioni di tipo ad altre componenti... (vedi esempi nel libro),

c) i tipi logici (proposizioni, proprietà, relazioni, operazioni,...)

d) lo spazio vuoto (o variabile) di un tipo,  ossia ciò che può essere riempito con un oggetto di quel tipo -- quando in una proposizione sono state evidenziate certe componenti e ad esse sono stati attribuiti certi tipi, e poi si mettono spazi vuoti (variabili) di tipo T al posto di ogni componente di tipo T, si ottiene qualcosa che non è più una a proposizione ma uno "schema" o "formula",

e) i nomi delle variabili di un tipo -- due variabili di tipo T con nomi uguali devono essere riempite con lo stesso oggetto di quel tipo; due variabili di tipo T con nomi diversi possono essere riempiti da oggetti diversi o uguali;

f) la sostituzione delle variabili entro gli schemi (o formule), ossia il riempimento di ciascun spazio vuoto (variabile) con un oggetto del  tipo di quella variabile, riempiendo con lo stesso oggetto tutte le variabili che hanno lo stesso nome --- mediante la sostituzione delle variabili, da uno schema si ottiene una proposizione (che può quindi essere o vera o falsa, in logica classica).

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