Nella lezione odierna (la prima
lezione della seconda unità didattica) ho parlato del teorema di incompletezza
della logica, stabilito nel 1931 da Kurt Goedel, il teorema che dice
"Ci sono proposizione logiche che sono vere ma non
sono dimostrabili logicamente (ossia con strumenti tutti interni alla
logica)".
Questo teorema sancisce la
non-autonomia della logica - e dunque rende improbabile l’autonomia delle altre
discipline - poiché la logica non è capace di risolvere con i suoi metodi le
sue questioni, di scoprire con i suoi metodi le sue verità: certe verità
"logiche" si possono scoprire soltanto adoperando metodi esterni alla
logica.
Gli esempi di proposizioni logiche
che sono vere ma non sono dimostrabili logicamente si trovano fra le
proposizioni che sono "chiusure esistenziali di formule del primo
ordine".
Invece, la logica risulta capace di
scoprire con i suoi metodi la verità delle proposizioni logiche che sono
"chiusure universali di formule del primo ordine": è il contenuto del
Teorema di completezza della logica del primo ordine, dimostrato dallo steso
Kurt Goedel nel 1929.
Da ciò viene la necessità di capire
cosa sono le formule del primo ordine e poi cosa sono le chiusure esistenziali
e le chiusure universali di tali formule.
Una formula del primo ordine è ciò
che si ottiene da una proposizione del primo ordine "rimpiazzando ogni
componente extra-logica con una variabile di tipo logico", come è spiegato
nel libro e come ho spiegato nella lezione odierna (e continuerò nella lezione
di domani).
Si ricordi che una proposizione del
primo ordine, fra l'altro, è una proposizione che "parla su un solo
tipo di oggetti, e di proprietà, relazioni, operazioni su quel tipo" e che
quantifica solo su variabili di quel tipo di oggetti ( e non su variabili per
classi, per proposizioni, per predicati, per operazioni).
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