Nella lezione di oggi spiegherò quelle parti della lezione di
ieri che non sono riuscito a trattare adeguatamente per mancanza di tempo: la
nozione di insieme (classe che è considerata come oggetto e quindi può essere
elemento di una classe), e il principio di Frege “Ogni classe è un insieme”.
Successivamente, esporrò in dettaglio l'antinomia di Russell,
ossia la dimostrazione che dal principio di Frege "Ogni classe è un
insieme" si giunge a una falsità (usando il principio di estensionalità e
il principio di comprensione).
Pertanto, l'antinomia di Russell (1902) mostra la falsità di "Ogni classe è un insieme" e la verità di "Qualche classe non è un insieme"; mostra anche alcuni esempi (fra i tanti) di classi che non possono essere "insiemi" ossia "oggetti" (la classe delle cose che non appartengono a se stesse, e la classe totale ossia la classe di tutte le cose).
Passerò poi a definire
- - alcune classi che sono insiemi (in particolare l'insieme vuoto, mostrando a quale proprietà esso corrisponde), alcune operazioni che producono insiemi a partire da cose (singoletto, coppia, tripla, ..., n-pla...; coppia ordinata, tripla ordinata, ..., n-pla ordinata, ... ),
- - le operazioni di intersezione, di unione, di prodotto cartesiano e potenza,
- - l'insieme dei numeri naturali, e la nozione di "definizione induttiva" di un insieme.
Voglio sottolineare - come farò anche a lezione - l'importanza di queste nozioni: tanta
parte della scienza moderna non si capisce senza possedere queste nozioni,
tanta parte dell'informatica è basata su queste nozioni, le tabelle e il loro
ampio uso odierno sono legate a queste nozioni.
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