Lezione 20, lunedì 27 novembre 2017 // Proposizioni e principi sulle classi, in logica classica

Nella lezione odierna, dopo aver riassunto i temi del capitolo 5, inizierò la spiegazione dei temi del capitolo successivo, dedicato alle classi nella logica classica.

Le proposizioni sulle classi sono:

- l'asserzione dell'appartenenza di un oggetto a una classe , e la sua negazione (l'asserzione che quell'oggetto è esterno a quella classe)
- l'asserzione che una classe X è parte di una classe Y, e la sua negazione (l'asserzione che la classe X ha elementi esterni alla classe Y)
- l'asserzione che una classe X condivide elementi con una cosse Y, e la sua negazione (l'asserzione che la classe X e la classe Y sono disgiunte).

Nella lezione mostrerò come queste proposizioni vengono lette nella logica odierna.

I principi sulle classi sono:

- il principio di estensionalità, che risponde alla domanda "quando due classi X e Y sono uguali?" e asserisce che sono uguali quando "hanno gli stessi elementi";
- il principio di comprensione, che stabilisce il legame tra classi e proprietà asserendo che per ogni proprietà esiste una classe che le corrisponde (l'inverso  - ossia che ad ogni classe corrisponde una proprietà -  è anch'esso accettato ma è più evidente).

Nella lezione mostrerò come vengono scritti nella logica contemporanea questi principi.

Gli insiemi sono classi che sono "oggetti", ossia che possono essere elementi di classi.

Nella lezione mostrerò come siamo indotti a ritenere vera la proposizione "Ci sono classi che sono insiemi", e falsa la proposizione “Nessuna classe è un insieme”.

Quale tra le due proposizioni "Ogni classe è un insieme" e "Ci sono classi che non sono insiemi" è vera?

Frege - e prima di lui altri filosofi e scienziati - hanno creduto che fosse vera la proposizione "Ogni classe è un insieme". Ma essa è falsa, come è stato scoperta da B. Russell nel 1904 con la sua "Antinomia". Dunque, è vera la proposizione "Ci sono classi che non sono insiemi".