Nella lezione di oggi presento il
principio fondamentale della logica classica: data una proposizione e la sua
negazione, dalla refutazione di una delle due si ottiene la dimostrazione
dell'altra, dalla falsità di una delle due si ottiene la verità dell'altra.
Ci sono tre letture importanti di
quello stesso principio, letture che spesso sono considerati (erroneamente)
principi diversi:
- il principio di non contraddizione:
data una proposizione e la sua negazione, esse non possono essere entrambe vere
(si potrebbe anche formulare dicendo: data una proposizione e la sua negazione,
esse non possono essere entrambe false);
- il principio del terzo escluso: data
una proposizione e la sua negazione, una delle due è vera (si potrebbe anche
esprimere dicendo: data una proposizione e la sua negazione, una delle due è
falsa);
- il principio di identità: se A
allora A (ossia, se A è vera allora A è vera); principio che si potrebbe anche
esprimere dicendo: se A è falsa allora A è falsa.
Nella lezione di oggi passo poi a
spiegare tre regole importanti del nostro ragionamento:
• la
regola del modus ponens
• la
regola del modus tollens
• la
regola della transitività
Ho mostrato, quindi, che le tre regole
precedenti - regole che dicono come si usano le dimostrazioni da ipotesi - sono
casi particolari di una regola generale, chiomata regola del taglio.
La regola della conseguenza mirabile e
la regola dell' "a fortiori" sono le regole caratteristiche della
logica classica, nel senso che usare tale regole costringe ad accettare che le
proposizioni siano BIT immutabili e dunque ad accettare la concezione della
logica classica.
La premessa della regola della
conseguenza mirabile (avere una dimostrazione di una proposizione A dalla sua
negazione) obbliga a riconoscere che quella proposizione A è vera perché non
può essere falsa (infatti la scoperta della falsità di A - ossia la scoperta
della verità della sua negazione - porterebbe alla scoperta della verità di A,
il che è impossibile).
Chiarimenti?
Questioni?
Buonasera Professore, Le volevo chiedere perche`il modus ponens, il modus tollens e la regola della transitivita`sono considerati casi particolari della regola del taglio. Se Il modus ponens,tollens e la regola della transitivita` vengono riscritti mutando AtB in ~A,B, se vi applico la regola del taglio, ottengo comunque la dimostrazione di B come ad esempio nel caso del modus ponens in cui ~A,B e` espresso come AtB. Ma allora mi chiedo cosa significhi scrivere la regola del taglio come tB,A e t~A,C allora tB,C. La ringrazio e Le auguro Buona Serata.
RispondiEliminaHa già dato lei la risposta: le tre regole sono casi particolari della regola del taglio quando A!-B viene scritta come !- ~A, B. Infatti in tutte e tre quelle regole (così riscritte) si ha il taglio di una proposizione D (presente nella prima premessa) e di una proposizione ~D (presente nella seconda premessa).
EliminaLa ringrazio Professore e Le auguro una Buona Serata.
EliminaBuonasera Professore, colgo l`occasione per chiederle, riguardo al commento precedente, come mai nella regola del taglio abbiamo 3 proposizioni anziche`due come nella regola del modus ponens e tollens.Le volevo anche chiedere conferma del seguente passo:" dimostrare la disgiunzione A o B si puo`fare mostrando che una delle due e` falsa.In questo modo la dimostrazione della disgiunzione permette di ottenere anche la dimostrazione di una delle due proposizioni che pero` non va considerata come la dimostrazione di una delle due proposizioni,come avviene nella prima maniera di dimostrazione di una disgiunzione, ma come una dimostrazione da ipotesi.
RispondiEliminaLa rigrazio, e Le auguro Buona Serata.
Appunto, il modus ponent e il modus tollera corrispondono al caso della regola del taglio in cui ci sono solo due proposizioni.
EliminaLe correggo quanto da lei scritto:
"dimostrare la disgiunzione A o B si puo`fare mostrando che, se una delle due e` falsa, l'altra deve essere vera. In questo modo la dimostrazione della disgiunzione permette di ottenere anche la dimostrazione che non possono essere entrambe false, e dunque che una deve essere vera, senza avere però la dimostrazione di una delle due proposizioni,come avviene nella prima maniera di dimostrazione di una disgiunzione,; si ha solo una dimostrazione da ipotesi.