Lezione 26 e lezione 27 (lunedì 14 dicembre 2015): Funzioni. Insiemi equipotenti. Infinito. Le successioni finite di bit.

Ho trattato, nelle due lezioni ì, i seguenti temi:

- la nozione di funzione entro la concezione classica degli insiemi, e le nozioni di "rango di una funzione" (un sottoinsieme del condominio, costituite dai valori assegnati dalla funzione quando è applicata agli elementi del dominio) e di "grafo di una funzione" (un sottoinsieme del prodotto cartesiano del dominio e del condominio, una sorta di "tabella" della funzione);

-  le proprietà che può avere una funzione, e in particolare le nozioni di "funzione totale", "funzione iniettiva", "funzione suriettiva" e "funzione biettiva" (o "corrispondenza biunivoca"); si tratta di nozioni che hanno una notevole importanza nel nostro trattare con le classi e gli insiemi;

- la nozione di "insieme equipotenti" (due insiemi sono equipotenti  quando esiste tra loro una corrispondenza biunivoca, ossia intuitivamente quando "hanno lo stesso "numero di elementi"), e il grande risultato ottenuto da Canto con la scoperta che "ci sono insieme infiniti non equipotenti" ossia che si può considerare una "gradazione" degli insieme infiniti così come c'è una "gradazione" degli insieme finiti.

La dimostrazione di Cantor mostra in particolare che non ci può essere alcuna corrispondenza biunivoca (biezione) tra un insieme X e la sua potenza (l'insieme delle parti di X). Dunque, se X è un insieme infinito, la potenza di X è un insieme infinito di infinità maggiore di quella di X, e la potenza della potenza di X ha un'infinità maggiore di quella della potenza di X, ecc.

Si tratta di un risultato di grande importanza per la cultura in generale, oltre che per la matematica e la logica.

Successivamente, ho cominciato la trattazione della risposta alla domanda "perché tante cose, tantissime cose,  possono essere codificate mediante  successioni finite di bit ("digitalizzate")?"

Ho spiegato il concetto di "successione finita di bit" (le successioni finite di bit di lunghezza k sono 2 elevato a k, sono la potenza k-esima di 2).

Ho poi mostrato perché (per quale importante teorema matematico) i numeri naturali possono essere rappresentati mediante successioni finite di bit. è importante conoscere l'enunciato di quel teorema che permette anche la rappresentazione a noi familiare dei numeri naturali mediante successioni finite di numeri minori di 10. è importante saper rappresentare un numero (noni troppo grande!) mediante una successione finita di bit, e saper dire quale numero è rappresentato da una data successione finita di bit.