Nella lezione di oggi tratterò i seguenti temi:
-
la nozione di funzione entro la concezione classica degli insiemi, e le nozioni
di "rango di una funzione" (un sottoinsieme del condominio,
costituite dai valori assegnati dalla funzione quando è applicata agli elementi
del dominio) e di "grafo di una funzione" (un sottoinsieme del
prodotto cartesiano del dominio e del condominio, una sorta di
"tabella" della funzione);
-
le proprietà che può avere una funzione, e in particolare le nozioni di
"funzione totale", "funzione iniettiva", "funzione
suriettiva" e "funzione biettiva" (o "corrispondenza
biunivoca"); si tratta di nozioni che hanno una notevole importanza nel
nostro trattare con le classi e gli insiemi;
- la
nozione di "insiemi equipotenti" (due insiemi sono equipotenti
quando esiste tra loro una corrispondenza biunivoca, ossia intuitivamente
quando "hanno lo stesso "numero di elementi"), e il grande
risultato ottenuto da Cantor con la scoperta che "ci sono insieme infiniti
non equipotenti" ossia che si può considerare una "gradazione"
degli insieme infiniti così come c'è una "gradazione" degli insieme
finiti.
La
dimostrazione di Cantor mostra in particolare che non ci può essere alcuna
corrispondenza biunivoca (biezione) tra un insieme X e la sua potenza
(l'insieme delle parti di X). Dunque, se X è un insieme infinito, la potenza di
X è un insieme infinito di infinità maggiore di quella di X, e la potenza della
potenza di X ha un'infinità maggiore di quella della potenza di X, ecc.
Si
tratta di un risultato di grande importanza per la cultura in generale, oltre
che per la matematica e la logica.
Buonasera Professore, Le volevo chiedere se poteva gentilmente rispiegarmi la dimostrazione di Cantor sul fatto che non ci può essere alcuna corrispondenza biunivoca (biezione) tra un insieme X e la sua potenza e se poteva farmi un esempio su una potenza di un insieme.
RispondiEliminaLa ringrazio e Le auguro Buona Serata