Nella lezione odierna sono stati
definiti il quantificatore universale classico (con il quale si forma la
proposizione classica quantificata universalmente "per ogni x di tipo T,
vale A[x]") e il quantificatore esistenziale classico (con il quale
di forma la proposizione classica quantificata esistenzialmente "per
qualche x di tipo T, vale A[x]").
a) Si è precisato quando è vera e
quando è falsa una proposizione classica quantificata universalmente, e
quando è vera e quando è falsa una proposizione classica quantificata
esistenzialmente.
b) Si è fissato qual è la negazione di
una proposizione quantificata universalmente e qual è la negazione di una
proposizione quantificata esistenzialmente: la negazione di "per
ogni x di tipo T, vale A[x]" è "per qualche x di tipo T, vale
la negazione di A[x]", e la negazione di "per qualche x di tipo
T, vale A[x]" è "per ogni x di tipo T, vale la negazione di
A[x]".
c) Sono state infine illustrate le
regole per dimostrare e per usare le proposizioni quantificate. Le regole più
interessanti (e non banali) sono quelle per dimostrare una proposizione
quantificata universalmente e per usare una proposizione quantificata
esistenzialmente:
- dimostrare una proposizione
universale "per ogni x di tipo T, vale A[x]" è dimostrare la
proposizione A[a] dove a è un oggetto di tipo T e nella dimostrazione è
trattato come un oggetto “generico” (ossia nella dimostrazione si usa dell’oggetto
a solo le proporietà che gli spettano in quanto oggetto di tipo T);
- dall'ipotesi (dall'informazione) che "per
qualche x di tipo T, vale A[x]" si può passare a dire che vale A[a] per
uno specifico oggetto a di tipo T sul quale nel proseguire la dimostrazione non
si usa nient'altro che le proprietà che gli spettano in quanto oggetto di tipo
T -- ossia per uno specifico oggetto a che svolgerà nel proseguire la
dimostrazione il ruolo di oggetto generico di tipo T.
Infine, nella lezione odierna, sono state presentate le proposizioni
categoriche, le proposizioni che sono state studiate sin dall'antichità e che
costituiscono la forma generale di moltissime (se non di tutte) le proposizioni
che si fanno nelle diverse discipline. Ci sono quattro forme di proposizioni
categoriche:
- le proposizioni universali
affermative: "Ogni P è Q"
- le proposizioni particolari
affermative : "Qualche P è Q"
- le proposizioni universali negative:
"Nessun P è Q" ossia "Ogni P non è Q"
- le proposizioni particolari negative
: "Qualche P non è Q"
P,Q sono chiamati "termini" e
sono spesso degli aggettivi o delle locuzioni anche complesse che svolgono il
ruolo di un aggettivo. Ciò che precede la copula "è" (nel nostro
caso, P) è detto "soggetto" e quel che segue la copula
"è" (nel nostro caso, Q) è detto "predicato"
Esempi di queste proposizioni sono dati
nel volume.
Quel che va saputo e ricordato è il
fatto che - fissati P e Q - le quattro proposizioni categoriche che si formano
con il "soggetto" P e il "predicato" Q vengono collocate ai
vertici di un quadrato, in alto le proposizioni universali e in basso
quelle esistenziali, a destro quelle affermative e a sinistra quelle negative:
le diagonali di questo quadrato collegano le proposizioni che sono tra
loro "contraddittorie" (la proposizione universale affermativa e
quella particolare negativa, la proposizione particolare affermativa e quella
universale negativa).
Domande?
Chiarimenti?
Professore, nella parte conclusiva della lezione di oggi ha scritto sulla lavagna, in riferimento alle proposizione categoriche, le affermative a sinistra e le negative a destra. In caso di domanda al test possiamo anche rappresentarlo così il quadrato oppure dobbiamo obbligatoriamente scrivere le negative a sinistra e le affermative a destra?
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