In questa lezione sono stati
definiti il quantificatore universale classico (con il quale si forma la
proposizione classica quantificata universalmente "per ogni x di tipo T,
vale A[x]") e il quantificatore esistenziale classico (con il quale
di forma la proposizione classica quantificata esistenzialmente "per
qualche x di tipo T, vale A[x]").
a) Si è precisato quando è
vera e quando è falsa una proposizione classica quantificata universalmente,
e quando è vera e quando è falsa una proposizione classica quantificata
esistenzialmente.
b) Si è fissato qual è la
negazione di una proposizione quantificata universalmente e qual è la negazione
di una proposizione quantificata esistenzialmente: la negazione di "per
ogni x di tipo T, vale A[x]" è "per qualche x di tipo T, vale
la negazione di A[x]", e la negazione di "per qualche x di tipo
T, vale A[x]" è "per ogni x di tipo T, vale la negazione di
A[x]".
c) Sono state infine
illustrate le regole per dimostrare e per usare le proposizioni quantificate.
Le regole più interessanti (e
non banali) sono quelle per dimostrare una proposizione quantificata
universalmente e per usare una proposizione quantificata esistenzialmente:
- dimostrare una proposizione
universale "per ogni x di tipo T, vale A[x]" è dimostrare la
proposizione A[a] dove a è un oggetto di tipo T e nella dimostrazione è
trattato come un oggetto “generico” (ossia nella dimostrazione si usa
dell’oggetto a solo le proporietà che gli spettano in quanto oggetto di tipo
T);
-
dall'ipotesi (dall'informazione) che "per qualche x di tipo T, vale
A[x]" si può passare a dire che vale A[a] per uno specifico oggetto a di
tipo T sul quale nel proseguire la dimostrazione non si usa nient'altro che le
proprietà che gli spettano in quanto oggetto di tipo T -- ossia per uno
specifico oggetto a che svolgerà nel proseguire la dimostrazione il ruolo di
oggetto generico di tipo T.
Infine, in questa lezione,
sono state presentate le proposizioni categoriche, le proposizioni che sono
state studiate sin dall'antichità e che costituiscono la forma generale di
moltissime (se non di tutte) le proposizioni che si fanno nelle diverse
discipline. Ci sono quattro forme di proposizioni categoriche:
- le proposizioni universali
affermative: "Ogni P è Q"
- le proposizioni particolari
affermative : "Qualche P è Q"
- le proposizioni universali
negative: "Nessun P è Q" ossia "Ogni P non è Q"
- le proposizioni particolari
negative : "Qualche P non è Q"
P,Q sono chiamati
"termini" e sono spesso degli aggettivi o delle locuzioni anche
complesse che svolgono il ruolo di un aggettivo. Ciò che precede la copula
"è" (nel nostro caso, P) è detto "soggetto" e quel
che segue la copula "è" (nel nostro caso, Q) è detto
"predicato"
Esempi di queste proposizioni
sono dati nel volume.
Quel che va saputo e ricordato
è il fatto che - fissati P e Q - le quattro proposizioni categoriche che si
formano con il "soggetto" P e il "predicato" Q vengono
collocate ai vertici di un quadrato, in alto le proposizioni universali e
in basso quelle esistenziali, a destro quelle affermative e a sinistra quelle
negative: le diagonali di questo quadrato collegano le proposizioni che
sono tra loro "contraddittorie" (la proposizione universale
affermativa e quella particolare negativa, la proposizione particolare affermativa
e quella universale negativa).
Buonasera professore, potrebbe gentilmente chiarire il concetto di istanza?
RispondiEliminaUna istanza di una proposizione quantificata "per ogni x:T, A[x]" o "per qualche x:T, A{x}" è una proposizione A[a] dove a è un oggetto di tipo T. Ad esempio, un'istanza di "per ogni x: Numeri x+2=5" è la proposizione "3+2=5" ed anche la proposizione "6+2=5".
EliminaBuonasera professore, per dire come si usano le le proposizioni quantificate va bene se dico che: ''per ogni x :T A[x]'' si usa passando dal generale ad un caso particolare dimostrandolo, e che ''per qualche x :T A[x]'' si usa dimostrando un esempio di essa ?
RispondiEliminaGrazie mille
sì, per l'universale. Per l'esistenziale, veda la mia risposta alla domanda posta nel commento successivo.
EliminaProfessore salve, mi potrebbe spiegare come si usano le proposizioni quantificate esistenziali? la ringrazio.
RispondiEliminaquando si fa come ipotesi una proposizione esistenziale "per qualche x:T, A[x]", essa viene usata dicendo "sia dunque a una cosa di tipo T tale che valga A[a]" e da quel momento in poi nella dimostrazione si usa a come oggetto generico di tipo T.
EliminaBuongiorno professore,vanno bene come esercitazione per l'esonero le domande alla fine del suo libro?
RispondiEliminaBuongiorno professore,vanno bene come esercitazione per l'esonero le domande alla fine del suo libro?
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