Lezione n. 14 - 2 novembre 2016 // Quantificazione: i quantificatori universale e particolare, le proposizioni categoriche.

In questa lezione sono stati definiti il quantificatore universale classico (con il quale si forma la proposizione classica quantificata universalmente "per ogni x di tipo T, vale A[x]")  e il quantificatore esistenziale classico (con il quale di forma la proposizione classica quantificata esistenzialmente "per qualche x di tipo T, vale A[x]").

a) Si è precisato quando è vera e quando è falsa una proposizione classica quantificata universalmente,  e quando è vera e quando è falsa una proposizione classica quantificata esistenzialmente.

b) Si è fissato qual è la negazione di una proposizione quantificata universalmente e qual è la negazione di una proposizione quantificata esistenzialmente: la negazione di "per  ogni x di tipo T, vale A[x]" è "per qualche x di tipo T, vale la negazione di  A[x]", e la negazione di "per qualche x di tipo T, vale A[x]" è "per ogni x di tipo T, vale la negazione di A[x]".

c) Sono state infine illustrate le regole per dimostrare e per usare le proposizioni quantificate.

Le regole più interessanti (e non banali) sono quelle per dimostrare una proposizione quantificata universalmente e per usare una proposizione quantificata esistenzialmente:

- dimostrare una proposizione universale "per  ogni x di tipo T, vale A[x]" è dimostrare la proposizione A[a] dove a è un oggetto di tipo T e nella dimostrazione è trattato come un oggetto “generico” (ossia nella dimostrazione si usa dell’oggetto a solo le proporietà che gli spettano in quanto oggetto di tipo T);

-  dall'ipotesi (dall'informazione) che "per qualche x di tipo T, vale A[x]" si può passare a dire che vale A[a] per uno specifico oggetto a di tipo T sul quale nel proseguire la dimostrazione non si usa nient'altro che le proprietà che gli spettano in quanto oggetto di tipo T -- ossia per uno specifico oggetto a che svolgerà nel proseguire la dimostrazione il ruolo di oggetto generico di tipo T.

Infine, in questa lezione, sono state presentate le proposizioni categoriche, le proposizioni che sono state studiate sin dall'antichità e che costituiscono la forma generale di moltissime (se non di tutte) le proposizioni che si fanno nelle diverse discipline. Ci sono quattro forme di proposizioni categoriche:

- le proposizioni universali affermative: "Ogni P è Q"

- le proposizioni particolari affermative : "Qualche P è Q"

- le proposizioni universali negative: "Nessun P è Q" ossia "Ogni P non è Q"

- le proposizioni particolari negative : "Qualche P non è Q"

P,Q sono chiamati "termini" e sono spesso degli aggettivi o delle locuzioni anche complesse che svolgono il ruolo di un aggettivo. Ciò che precede la copula "è" (nel nostro caso, P) è detto "soggetto" e  quel che segue la copula "è" (nel nostro caso, Q) è detto "predicato"

Esempi di queste proposizioni sono dati nel volume.

Quel che va saputo e ricordato è il fatto che - fissati P e Q - le quattro proposizioni categoriche che si formano con il "soggetto" P e il "predicato" Q vengono collocate ai vertici di un quadrato, in alto le proposizioni universali  e in basso quelle esistenziali, a destro quelle affermative e a sinistra quelle negative: le diagonali di questo quadrato collegano  le proposizioni che sono tra loro "contraddittorie" (la proposizione universale affermativa e quella particolare negativa, la proposizione particolare affermativa e quella universale negativa).