Lezione n. 17 - 22 novembre 2016 // Logica del primo ordine

In questa lezione ho  mostrato esempi di proposizioni del primo ordine e di proposizioni che non sono del primo ordine, ed esempi di formule.

Ho poi esposto la nozione di modello e di contromodello di una formula del primo ordine,.

Ho quindi spiegato - in riferimento alle formule del primo ordine - le nozioni di : "verità logica", "soddisfacibile", "falsità logica", "falsificabile".

Infine, ho ripreso - in riferimento a queste nozioni- i teoremi di incompletezza della logica ("ci sono formule del primo ordine la cui chiusura esistenziale è una proposizione logica vera (ossia la formula è soddisfacibile) ma non è dimostrabile logicamente") e e di completezza della logica del primo ordine ("per ogni formula del primo ordine, se la sua chiusura universale è una proposizione logica vera (ossia se la formula è una verità logica)   allora è dimostrabile logicamente").

Ecco le foto della lavagna durante questa lezione:

Foto 1

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Lezione n. 17 - 22 novembre 2016 // Logica del primo ordine

In questa lezione ho  mostrato esempi di proposizioni del primo ordine e di proposizioni che non sono del primo ordine, ed esempi di formule.

Ho poi esposto la nozione di modello e di contromodello di una formula del primo ordine,.

Ho quindi spiegato - in riferimento alle formule del primo ordine - le nozioni di : "verità logica", "soddisfacibile", "falsità logica", "falsificabile".

Infine, ho ripreso - in riferimento a queste nozioni- i teoremi di incompletezza della logica ("ci sono formule del primo ordine la cui chiusura esistenziale è una proposizione logica vera (ossia la formula è soddisfacibile) ma non è dimostrabile logicamente") e e di completezza della logica del primo ordine ("per ogni formula del primo ordine, se la sua chiusura universale è una proposizione logica vera (ossia se la formula è una verità logica)   allora è dimostrabile logicamente").

Ecco le foto della lavagna durante questa lezione:

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Lezione n. 15 - 7 novembre 2016 // Termine del quarto capitolo, ripasso generale, esercizi

Nella lezione di oggi ho terminato la spiegazione del quarto capitolo, ho compiuto un ripasso generale dei temi trattati nella prima unità didattica e ho svolto alcuni esercizi.

Qui il file pdf con quel che ho scritto sulla lavagna nella lezione del 2 novembre e in quella di oggi.

Lezione n. 14 - 2 novembre 2016 // Quantificazione: i quantificatori universale e particolare, le proposizioni categoriche.

In questa lezione sono stati definiti il quantificatore universale classico (con il quale si forma la proposizione classica quantificata universalmente "per ogni x di tipo T, vale A[x]")  e il quantificatore esistenziale classico (con il quale di forma la proposizione classica quantificata esistenzialmente "per qualche x di tipo T, vale A[x]").

a) Si è precisato quando è vera e quando è falsa una proposizione classica quantificata universalmente,  e quando è vera e quando è falsa una proposizione classica quantificata esistenzialmente.

b) Si è fissato qual è la negazione di una proposizione quantificata universalmente e qual è la negazione di una proposizione quantificata esistenzialmente: la negazione di "per  ogni x di tipo T, vale A[x]" è "per qualche x di tipo T, vale la negazione di  A[x]", e la negazione di "per qualche x di tipo T, vale A[x]" è "per ogni x di tipo T, vale la negazione di A[x]".

c) Sono state infine illustrate le regole per dimostrare e per usare le proposizioni quantificate.

Le regole più interessanti (e non banali) sono quelle per dimostrare una proposizione quantificata universalmente e per usare una proposizione quantificata esistenzialmente:

- dimostrare una proposizione universale "per  ogni x di tipo T, vale A[x]" è dimostrare la proposizione A[a] dove a è un oggetto di tipo T e nella dimostrazione è trattato come un oggetto “generico” (ossia nella dimostrazione si usa dell’oggetto a solo le proporietà che gli spettano in quanto oggetto di tipo T);

-  dall'ipotesi (dall'informazione) che "per qualche x di tipo T, vale A[x]" si può passare a dire che vale A[a] per uno specifico oggetto a di tipo T sul quale nel proseguire la dimostrazione non si usa nient'altro che le proprietà che gli spettano in quanto oggetto di tipo T -- ossia per uno specifico oggetto a che svolgerà nel proseguire la dimostrazione il ruolo di oggetto generico di tipo T.

Infine, in questa lezione, sono state presentate le proposizioni categoriche, le proposizioni che sono state studiate sin dall'antichità e che costituiscono la forma generale di moltissime (se non di tutte) le proposizioni che si fanno nelle diverse discipline. Ci sono quattro forme di proposizioni categoriche:

- le proposizioni universali affermative: "Ogni P è Q"

- le proposizioni particolari affermative : "Qualche P è Q"

- le proposizioni universali negative: "Nessun P è Q" ossia "Ogni P non è Q"

- le proposizioni particolari negative : "Qualche P non è Q"

P,Q sono chiamati "termini" e sono spesso degli aggettivi o delle locuzioni anche complesse che svolgono il ruolo di un aggettivo. Ciò che precede la copula "è" (nel nostro caso, P) è detto "soggetto" e  quel che segue la copula "è" (nel nostro caso, Q) è detto "predicato"

Esempi di queste proposizioni sono dati nel volume.

Quel che va saputo e ricordato è il fatto che - fissati P e Q - le quattro proposizioni categoriche che si formano con il "soggetto" P e il "predicato" Q vengono collocate ai vertici di un quadrato, in alto le proposizioni universali  e in basso quelle esistenziali, a destro quelle affermative e a sinistra quelle negative: le diagonali di questo quadrato collegano  le proposizioni che sono tra loro "contraddittorie" (la proposizione universale affermativa e quella particolare negativa, la proposizione particolare affermativa e quella universale negativa).

Lezione n. 13 - lunedì 31 ottobre 2016 // Esercizi ed approfondimenti sui capitoli 2 e 3.

In questa lezione ho indicato la tipologia di domande relative al capitolo 3 (su questo capitolo ci saranno due domande, la terza e la quinta).

• la tavola di alcuni dei connettivi principali della logica classica, eventualmente con qualche commento;
• la definizione dell'implicazione classica, della alternativa classica e della equivalenza classica, a partire da negazione classica, congiunzione classica, disgiunzione classica;
• la negazione di una congiunzione classica, di una disgiunzione classica, di una implicazione classica, di una alternativa classica, di una equivalenza classica;
• la regola per dimostrare una congiunzione e le regole per dimostrare una disgiunzione (eventualmente, le regole per dimostrare un'implicazione, una equivalenza o una alternativa); 
• le regole per usare una congiunzione, e le regole per usare una disgiunzione (eventualmente, le regole per usare una implicazione, una equivalenza, un'alternativa);
• l'analisi di una proposizione data A mediante i connettivi principali della logica classica; scrivere tale analisi di A usando soltanto negazione, congiunzione e disgiunzione; fare la negazione della proposizione A analizzata; scrivere la negazione della proposizione A in lingua italiana; calcolare il valore della proposizione una volta conosciuti i valori delle sue componenti; indicare come può essere dimostrata la proposizione A.

In questa stessa lezione ho fatto alcuni esercizi di analisi di proposizioni, e ho fornito alcuni approfondimenti su temi trattati nelle lezioni precedenti. 

Qui il pdf con ciò che ho scritto sulla lavagna in questa lezione.