Lezione n. 12 - mercoledì 26 ottobre 2016 // Quantificazione: evidenziazione, attribuzione dei tipi, tipi logici, variabili

Nella lezione di oggi i concetti centrali sono stati:

a) la focalizzazione (o evidenziazione) di componenti entro una proposizione (attività libera), e il fatto che una stessa componente può avere più presenze (dette "occorrenze") entro una proposizione;

b) l'attribuzione di un tipo a ciascuna delle componenti focalizzate (o evidenziate) -- attività libera, ma una volta che si comincia ad attribuire un tipo ad una componente sono precluse certe attribuzioni di tipo ad altre componenti... (vedi esempi nel libro),

c) i tipi logici (proposizioni, proprietà, relazioni, operazioni,...)

d) lo spazio vuoto (o variabile) di un tipo,  ossia ciò che può essere riempito con un oggetto di quel tipo -- quando in una proposizione sono state evidenziate certe componenti e ad esse sono stati attribuiti certi tipi, e poi si mettono spazi vuoti (variabili) di tipo T al posto di ogni componente di tipo T, si ottiene qualcosa che non è più una a proposizione ma uno "schema" o "formula",

e) i nomi delle variabili di un tipo -- due variabili di tipo T con nomi uguali devono essere riempite con lo stesso oggetto di quel tipo; due variabili di tipo T con nomi diversi possono essere riempiti da oggetti diversi o uguali;

f) la sostituzione delle variabili entro gli schemi (o formule), ossia il riempimento di ciascun spazio vuoto (variabile) con un oggetto del  tipo di quella variabile, riempiendo con lo stesso oggetto tutte le variabili che hanno lo stesso nome --- mediante la sostituzione delle variabili, da uno schema si ottiene una proposizione (che può quindi essere o vera o falsa, in logica classica).

Chiarimenti?

Questioni?

Qui è il file pdf contenente ciò che ho scritto sulla lavagna in questa lezione. 

Lezione n. 11 - martedì 25 ottobre 2016 // Connettivi principali della logica classica: regole, analisi delle proposizioni

In questa lezione ho concluso la spiegazione delle regole per ottenere una dimostrazione di una proposizione connettivata come conclusione di una dimostrazione, e per usare una proposizione connettivata come ipotesi entro una dimostrazione. 

Ho spiegato che:

1) la dimostrazione di una disgiunzione consiste nella presentazione di 1 sola dimostrazione, la quale può essere:

·      la dimostrazione di uno solo dei due membri della disgiunzione,

·      la dimostrazione che ciascun membro della disgiunzione si ottiene con una dimostrazione logica dalla negazione dell'altro membro della disgiunzione;

2) una disgiunzione di due proposizioni A,B può essere usata:

·      per ottenere da essa una proposizione C, quando si è fatto vedere che quella proposizione C si ottiene sia da A che da B (distinzione dei casi)

·      per ottenere una delle due proposizioni A,B quando si viene a sapere che l’altra è falsa;

3) le regole per dimostrare una implicazione, una equivalenza o una alternativa si ottengono da quelle per dimostrare una congiunzione e per dimostrare una disgiunzione, come farò vedere nella lezione supplementare di sabato 29 ottobre;

4) le regole per usare entro una dimostrazione  una implicazione, una equivalenza o una alternativa  come ipotesi si ottengono da quelle per usare  come ipotesi  una congiunzione e per usare come ipotesi una disgiunzione, come farò vedere nella lezione supplementare di sabato 29 ottobre.

Ho poi spiegato:

-  come si analizza una proposizione mediante i connettivi principali della logica classica, 

- come si esprime una proposizione analizzata usando soltanto la negazione classica, la congiunzione classica e la disgiunzione classica,

 - come si trova la negazione di una proposizione analizzata

- come si traduce in lingua italiana la negazione di una proposizione analizzata (ottenendo la "corretta" negazione della proposizione),

- come si dimostra una proposizione analizzata,

- come si calcola il valore di una proposizione analizzata, quando si conosce il valore delle sue componenti.

Altri esempi di analisi  di proposizioni saranno fatti nella lezione supplementare di sabato 29 ottobre e in quella del 31 ottobre. 

Ho mostrato infine alcune dimostrabilità logiche, che saranno spiegate nella lezione supplementare del 29 ottobre e che sono alla base dei sillogismi di Aristotele.

Qui è il file pdf di ciò che ho scritto sulla lavagna in questa lezione.

Lezione n. 10 - lunedì 24 ottobre 2016 // Connettivi principali della logica classica: definibilità, negazione, regole

In questa lezione  ho concluso la definizione dei principali connettivi della logica classica, mostrando e spiegano la tabella della equivalenza classica (vera quando i due membri hanno lo stesso valore, falsa quando hanno valore diverso).

Successivamente ho spiegato come i connettivi della logica classica si possano tutti definire a partire dalla negazione classica, dalla congiunzione classica e dalla disgiunzione classica: 

1) ho fatto vedere come l'implicazione "se A allora B" in logica classica sia la stessa cosa che "non-A oppure B" (oppure nel senso della disgiunzione classica), ossia che l'implicazione classica si può definire a partire dalla disgiunzione classica e dalla negazione classica;

2) ho mostrato che  l'alternativa classica e la equivalenza classica si possano definire a partire dalla congiunzione classica, dalla disgiunzione classica e dalla negazione classica.

Sono poi passato a spiegare qual è la esplicitazione della negazione di una proposizione "connettivata", ossia di una proposizione ottenuta da due proposizioni mediante uno dei connettivi principali della logica classica: 

- la negazione della congiunzione di A e B è la disgiunzione della  negazione di A e della negazione di B, 

- la negazione della disgiunzione di A e B è la congiunzione della negazione di A e della negazione di B, 

- la negazione dell'implicazione "Se A allora B" è la congiunzione di A con la negazione di B ( "A ma non B"), 

- la negazione dell'alternativa classica di A e B è la equivalenza di A e B, 

- la negazione dell'equivalenza di A e B è la alternativa classica di A e B.

In particolare, la negazione di una proposizione complessa costituita da proposizioni "semplici" mediante  congiunzioni, disgiunzioni e negazioni consiste nel cambiare ognuna delle proposizioni semplici con la sua negazione, ciascuna congiunzione con una disgiunzione e ciascuna disgiunzione con una congiunzione.

Infine, ho spiegato come

1) la dimostrazione di una congiunzione consista nella presentazione di 2 dimostrazioni distinte, una per ciascuno dei due membri della congiunzione;

2) una congiunzione di due proposizioni può essere usata entro le dimostrazioni per ottenere:

•          uno solo dei due membri della congiunzione

•           entrambi i membri della congiunzione.

Qui è il file pdf di ciò che ho scritto sulla lavagna in questa lezione.

Lezione n.9 - mercoledì 19 ottobre 2016 // I connettivi della logica classica: congiunzione classica, disgiunzione classica, alternativa classica, implicazione classica

All’inizio di questa lezione ho mostrato alcune possibili domande sul capitolo 2.

Ricordo le principali nozioni sui connettivi principali della logica classica, trattate in questa lezione:

- la concezione estensionale dei connettivi: un connettivo è definito dicendo qual è il valore di una proposizione C ottenuta da due proposizioni A,B mediante quel connettivo (in dipendenza dal valore delle proposizioni A,B)

- la concezione vero-funzionale dei connettivi: il valore di una proposizione C ottenuta da due proposizioni A,B dipende esclusivamente dal valore di A e dal valore di B; 

- i quattro modi (i quattro casi) in cui possono essere due proposizioni classiche, e in generale due bit;

- la tabella della congiunzione classica  (vera quando entrambi i membri sono veri, falsa negli altri 3 casi)

- la tabella della disgiunzione classica (la disgiunzione nel senso di  vel, falsa quando entrambi i membri sono falsi, vera negli altri 3 casi)

- la tabella della alternativa classica (la disgiunzione nel senso di aut, falsa quando i due membri hanno lo stesso valore, vera quando hanno valore diverso)

 - la tabella della implicazione classica (falsa quando il primo membro – l’antecedente -  è vero e il secondo membro – il conseguente - è falso, vera negli altri 3 casi). 

Qui è il file pdf contenente ciò che ho scritto sulla lavagna in questa lezione.