Nella
lezione odierna (la prima lezione della seconda unità didattica) ho parlato del
teorema di incompletezza della logica, stabilito nel 1931 da Kurt Goedel, il
teorema che dice "Ci sono proposizione logiche che sono vere ma non sono
dimostrabili logicamente (ossia con strumenti tutti interni alla logica)".
Questo teorema sancisce la non-autonomia della logica - e dunque rende
improbabile l’autonomia delle altre discipline - poiché la logica non è capace
di risolvere con i suoi metodi le sue questioni, di scoprire con i suoi metodi
le sue verità: certe verità "logiche" si possono scoprire soltanto
adoperando metodi esterni alla logica.
Gli esempi
di proposizioni logiche che sono vere ma non sono dimostrabili logicamente si
trovano fra le proposizioni che sono "chiusure esistenziali di formule del
primo ordine".
Invece, la
logica risulta capace di scoprire con i suoi metodi la verità delle
proposizioni logiche che sono "chiusure universali di formule del primo
ordine": è il contenuto del Teorema di completezza della logica del primo
ordine, dimostrato dallo steso Kurt Goedel nel 1929.
Da ciò viene
la necessità di capire cosa sono le formule del primo ordine e poi cosa sono le
chiusure esistenziali e le chiusure universali di tali formule.
Una formula
del primo ordine è ciò che si ottiene da una proposizione del primo ordine
"rimpiazzando ogni componente extra-logica con una variabile di tipo
logico", come è spiegato nel libro e come ho spiegato nella lezione
odierna (e continuerò nella lezione di domani).
Si ricordi
che una proposizione del primo ordine, fra l'altro, è una proposizione
che "parla su un solo tipo di oggetti, e di proprietà, relazioni,
operazioni su quel tipo" e che quantifica solo su variabili di quel tipo
di oggetti ( e non su variabili per classi, per proposizioni, per predicati, per
operazioni).
Domande?
Chiarimenti?