martedì 17 novembre 2015

Lezione 19 (17 novembre): Teoremi di incompletezza e di completezza. Formule logiche del primo ordine.

Nella lezione odierna (la prima lezione della seconda unità didattica) ho parlato del teorema di incompletezza della logica, stabilito nel 1931 da Kurt Goedel, il teorema che dice "Ci sono proposizione logiche che sono vere ma non sono dimostrabili logicamente (ossia con strumenti tutti interni alla logica)". Questo teorema sancisce la non-autonomia della logica - e dunque rende improbabile l’autonomia delle altre discipline - poiché la logica non è capace di risolvere con i suoi metodi le sue questioni, di scoprire con i suoi metodi le sue verità: certe verità "logiche" si possono scoprire soltanto adoperando metodi esterni alla logica.

Gli esempi di proposizioni logiche che sono vere ma non sono dimostrabili logicamente si trovano fra le proposizioni che sono "chiusure esistenziali di formule del primo ordine".

Invece, la logica risulta capace di scoprire con i suoi metodi la verità delle proposizioni logiche che sono "chiusure universali di formule del primo ordine": è il contenuto del Teorema di completezza della logica del primo ordine, dimostrato dallo steso Kurt Goedel nel 1929.

Da ciò viene la necessità di capire cosa sono le formule del primo ordine e poi cosa sono le chiusure esistenziali e le chiusure universali di tali formule.

Una formula del primo ordine è ciò che si ottiene da una proposizione del primo ordine "rimpiazzando ogni componente extra-logica con una variabile di tipo logico", come è spiegato nel libro e come ho spiegato nella lezione odierna (e continuerò nella lezione di domani).

Si ricordi che una proposizione del primo ordine, fra l'altro,  è una proposizione che "parla su un solo tipo di oggetti, e di proprietà, relazioni, operazioni su quel tipo" e che quantifica solo su variabili di quel tipo di oggetti ( e non su variabili per classi, per proposizioni, per predicati, per operazioni).

Domande?


Chiarimenti?

mercoledì 11 novembre 2015

Lezione 18 (11 novembre): sillogismi, letture odierne delle proposizioni categoriche, riepilogo sul quarto capitolo.

Nella prima parte della lezione odierna ho esposto e spiegato le quattro regole di ragionamento che concernono le proposizioni categoriche, e che sono chiamate "sillogismi", illustrate fra la pagina 117 e la pagina 118: BARBARA, CELARENT, DARII, FERIO.

Prendiamo - ad esempio - il sillogismo BARBARA:  esso consiste in due premesse ("Ogni M è P" , "Ogni S è M")  e in una conclusione ("Ogni S è P"), accettando le due premesse  siamo costretti ad accettare anche la conclusione quale che sia il contenuto di S, P, M. Ed è bene che ciascuno faccia esempi concreti di un sillogismo BARBARA (specificando S, P, M) e si convinca che accettando le premesse è costretto ad accettare la conclusione.

Bisogna infine sapere e ricordare come le quattro proposizioni categoriche vengono "lette" nella logica almeno a partire dall'inizio della logica matematica nell'ottocento: si tratta di due letture, spiegate nelle pagine 118-119.

Con le due letture si capisce bene che le proposizioni "contraddittorie" sono l'una la negazione classica dell'altra, e che dalle premesse di un sillogismo attraverso le regole che abbiamo imparato sui connettivi e sui quantificatoti si arriva alla conclusione dello stesso sillogismo.

Nella seconda parte della lezione odierna ho fatto un riepilogo sui temi del capitolo quarto, indicando la tipologia delle domande che possono concernere questo capitolo.


martedì 10 novembre 2015

Lezione 17 (10 novembre): quantificatori, proposizioni categoriche

Nella lezione odierna sono stati definiti il quantificatore universale classico (con il quale si forma la proposizione classica quantificata universalmente "per ogni x di tipo T, vale A[x]")  e il quantificatore esistenziale classico (con il quale di forma la proposizione classica quantificata esistenzialmente "per qualche x di tipo T, vale A[x]").

a) Si è precisato quando è vera e quando è falsa una proposizione classica quantificata universalmente,  e quando è vera e quando è falsa una proposizione classica quantificata esistenzialmente.

b) Si è fissato qual è la negazione di una proposizione quantificata universalmente e qual è la negazione di una proposizione quantificata esistenzialmente: la negazione di "per  ogni x di tipo T, vale A[x]" è "per qualche x di tipo T, vale la negazione di  A[x]", e la negazione di "per qualche x di tipo T, vale A[x]" è "per ogni x di tipo T, vale la negazione di A[x]".

c) Sono state infine illustrate le regole per dimostrare e per usare le proposizioni quantificate. Le regole più interessanti (e non banali) sono quelle per dimostrare una proposizione quantificata universalmente e per usare una proposizione quantificata esistenzialmente:
- dimostrare una proposizione universale "per  ogni x di tipo T, vale A[x]" è dimostrare la proposizione A[a] dove a è un oggetto di tipo T e nella dimostrazione è trattato come un oggetto “generico” (ossia nella dimostrazione si usa dell’oggetto a solo le proporietà che gli spettano in quanto oggetto di tipo T);
-  dall'ipotesi (dall'informazione) che "per qualche x di tipo T, vale A[x]" si può passare a dire che vale A[a] per uno specifico oggetto a di tipo T sul quale nel proseguire la dimostrazione non si usa nient'altro che le proprietà che gli spettano in quanto oggetto di tipo T -- ossia per uno specifico oggetto a che svolgerà nel proseguire la dimostrazione il ruolo di oggetto generico di tipo T.


Infine, nella lezione odierna, sono state presentate le proposizioni categoriche, le proposizioni che sono state studiate sin dall'antichità e che costituiscono la forma generale di moltissime (se non di tutte) le proposizioni che si fanno nelle diverse discipline. Ci sono quattro forme di proposizioni categoriche:

- le proposizioni universali affermative: "Ogni P è Q"
- le proposizioni particolari affermative : "Qualche P è Q"
- le proposizioni universali negative: "Nessun P è Q" ossia "Ogni P non è Q"
- le proposizioni particolari negative : "Qualche P non è Q"

P,Q sono chiamati "termini" e sono spesso degli aggettivi o delle locuzioni anche complesse che svolgono il ruolo di un aggettivo. Ciò che precede la copula "è" (nel nostro caso, P) è detto "soggetto" e  quel che segue la copula "è" (nel nostro caso, Q) è detto "predicato"

Esempi di queste proposizioni sono dati nel volume.


Quel che va saputo e ricordato è il fatto che - fissati P e Q - le quattro proposizioni categoriche che si formano con il "soggetto" P e il "predicato" Q vengono collocate ai vertici di un quadrato, in alto le proposizioni universali  e in basso quelle esistenziali, a destro quelle affermative e a sinistra quelle negative: le diagonali di questo quadrato collegano  le proposizioni che sono tra loro "contraddittorie" (la proposizione universale affermativa e quella particolare negativa, la proposizione particolare affermativa e quella universale negativa).

Domande?

Chiarimenti?


lunedì 9 novembre 2015

Lezione 16 (9 novembre): evidenziazione di componenti, tipo delle componenti evidenziate, variabili, formule

Nella lezione di oggi i concetti centrali sono stati:

a) la focalizzazione (o evidenziazione) di componenti entro una proposizione (attività libera), e il fatto che una stessa componente può avere più presenze (dette "occorrenze") entro una proposizione;

b) l'attribuzione di un tipo a ciascuna delle componenti focalizzate (o evidenziate) -- attività libera, ma una volta che si comincia ad attribuire un tipo ad una componente sono precluse certe attribuzioni di tipo ad altre componenti... (vedi esempi nel libro),

c) i tipi logici (proposizioni, proprietà, relazioni, operazioni,...)

d) lo spazio vuoto (o variabile) di un tipo,  ossia ciò che può essere riempito con un oggetto di quel tipo -- quando in una proposizione sono state evidenziate certe componenti e ad esse sono stati attribuiti certi tipi, e poi si mettono spazi vuoti (variabili) di tipo T al posto di ogni componente di tipo T, si ottiene qualcosa che non è più una a proposizione ma uno "schema" o "formula",

e) i nomi delle variabili di un tipo -- due variabili di tipo T con nomi uguali devono essere riempite con lo stesso oggetto di quel tipo; due variabili di tipo T con nomi diversi possono essere riempiti da oggetti diversi o uguali;

f) la sostituzione delle variabili entro gli schemi (o formule), ossia il riempimento di ciascun spazio vuoto (variabile) con un oggetto del  tipo di quella variabile, riempiendo con lo stesso oggetto tutte le variabili che hanno lo stesso nome --- mediante la sostituzione delle variabili, da uno schema si ottiene una proposizione (che può quindi essere o vera o falsa, in logica classica).

Chiarimenti?


Questioni?

mercoledì 4 novembre 2015

Lezione 15 (4 novembre): riepilogo, esercizi e approfondimenti sul terzo capitolo

Oggi a lezione ho fatto un riepilogo del terzo capitolo, quello dedicato ai connettivi principali della logica classica, e ho dato alcune informazioni sulla prova intermedia facoltativa ("esonero") di lunedì 16 novembre p.v. 

Le principali informazioni sono:

a) la terza domanda dell'esonero verterà sui temi principali del terzo capitolo, quali:
- le tavole dei connettivi principali della logica classica (ed eventualmente il loro commento)
- la definizione dell'implicazione classica, dell'alternativa classica e dell'equivalenza classica mediante le negazione classica, la congiunzione classica e la disgiunzione classica (ed eventualmente la giustificazione di tale definizione);
- la negazione di ciascuna proposizione ottenuta mediante i connettivi principali della logica classica;
. le regole di dimostrazione e le regole d'uso di una congiunzione e le regole di dimostrazione e di uso di una disgiunzione classica;

b) la quinta domanda dell'esonero verterà su  una particolare proposizione a proposito della quale si dovrà (secondo il modello illustrato nell'ultima sezione del capitolo 3, e secondo gli esempi contenuti alle pagine 243-246 del volume):
- fare l'analisi mediante i connettivi principali della logica classica;
- scrivere tale analisi usando soltanto la negazione classica, la congiunzione classica e la disgiunzione classica;
- fare la negazione della proposizione così analizzata:

- scrivere tale negazione in lingua italiana.