Quattordicesima lezione: riepilogo del terzo capitolo, informazioni sull'esonero

Il post si riferisce alla lezione che si è svolta ieri, giovedì 30 ottobre, nella quale ho fatto un riepilogo del terzo capitolo, quello dedicato ai connettivi principali della logica classica, e ho dato alcune informazioni sulla prova intermedia facoltativa ("esonero") di martedì 11 novembre p.v.

Le principali informazioni sono:

a) la terza domanda dell'esonero verterà sui temi principali del terzo capitolo, ossia:
- le tavole dei connettivi principali della logica classica (ed eventualmente il loro commento)
- la definizione dell'implicazione classica, dell'alternativa classica e dell'equivalenza classica mediante le negazione classica, la congiunzione classica e la disgiunzione classica (ed eventualmente la giustificazione di tale definizione);
- la negazione di ciascuna proposizione ottenuta mediante i connettivi principali della logica classica;
. le regole di dimostrazione e le regole d'uso di una congiunzione e le regole di dimostrazione e di uso di una disgiunzione classica;

b) la quinta domanda dell'esonero verterà su  una particolare proposizione a proposito della quale si dovrà (secondo il modello illustrato nell'ultima sezione del capitolo 3, e secondo gli esempi contenuti alle pagine 243-246 del volume):
- fare l'analisi mediante i connettivi principali delle alogica classica;
- scrivere tale analisi usando sokltanto la negazione classica, la congiunzione classica e la disgiunzione classica;
- fare la negazione della proposizione così analizzata:
- scrivere tale negazione in lingua italiana.

Tredicesima lezione: regole di dimostrazione e di uso delle proposizioni connettivate, analisi di una proposizione mediante i connettivi principali della logica classica

Invito gli studenti a fare questi "esercizi", sulla base delle informazioni che hanno avuto nella lezione odierna a proposito del terzo capitolo del volume:

- comprendere bene le regole di dimostrazione e di uso della congiunzione classica e della disgiunzione classica;

- utilizzando le regole di dimostrazione e di uso della congiunzione classica e della disgiunzione classica, specificare le regole di dimostrazione e di uso della implicazione classica, della equivalenza classica e dell'alternativa classica;

- applicare le regole di dimostrazione e di uso dei connettivi principali della logica classica al caso di particolari proposizioni connettivate scelte nell'ambito di una particolare disciplina;

- applicare le due dimostrazioni logiche considerate nella lezione (quelle che sono alla base dei sillogismi) a proposizioni particolari scelte nell'ambito di una particolare disciplina.

Domani nella lezione saranno considerate altre proposizioni da analizzare mediante i connettivi principali della logica classica, sulle quali poi fare la negazione, secondo la procedura illustrata nella lezione di oggi.

Domande?

Commenti?

Dodicesima lezione: negazione delle proposizioni "connettivate", come dimostrare e come usare una congiunzione e una disgiunzione

Nella lezione di oggi è stato mostrato qual è la esplicitazione della negazione di una proposizione "connettivata", ossia di una proposizione ottnenuta da due proposizioni mediante uno dei connettivi principali della logica classica: la negazione della congiunzione di A e B è la disgiunzione della  negazione di A e della negazione di B, la negazione della disgiunzione di A e B è la congiunzione della negazione di A e della negazione di B, la negazione dell'implicazione "Se A allora B" è la congiunzione di A con la negazione di B ( "A ma non B"), la negazione dell'alternativa classica di A e B è la equivalenza di A e B, e la negazione dell'equivalenza di A e B è la alternativa classica di A e B.

In particolare, la negazione di una proposizione complessa costituita da proposizioni "semplici" mediante  congiunzioni, disgiunzioni e negazioni consiste nel cambiare ognuna delle proposizioni semplici con la sua negazione, ciascuna congiunzione con una disgiunzione e ciascuna disgiunzione con una congiunzione.

Nella lezione di oggi è stato spiegato come
1) la dimostrazione di una congiunzione consista nella presentazione di 2 dimostrazioni distinte, una per ciascuno dei due membri della congiunzione;
2) la dimostrazione di una disgiunzione consiste nella presentazione di 1 sola dimostrazione, la quale può essere:
- la dimostrazione di uno solo dei due membri della disgiunzione,
- la dimostrazione che ciascun membro della disgiunzione si ottiene con una dimostrazione logica dalla negazione dell'altro membro della disgiunzione.
3) una congiunzione di due proposizioni può essere usata per ottenere:
1) uno solo dei due membri della congiunzione
2) entrambi i membri della congiunzione.

Nella lezione di domani farò vedere come si usa la disgiunzione di due proposizioni.

Chiarimenti?

Commenti?

Questioni?

Undicesima lezione: tabelle dei connettivi principali della logica classica

In questa lezione, nella parte che non è stata dedicata al riepilogo sul primo e sul secondo capitolo, è stata completata la presentazione e il commento delle tabelle dei principali connettivi della logica classica: congiunzione classica (vera quando entrambi i membri sono veri), disgiunzione classica (falsa quando entrambi i membri sono falsi), alternativa classica (falsa quando i membri sono uguali),  implicazione classica (falsa quando il primo membro è vero e il secondo è falso), equivalenza classica (vera quando i membri sono uguali).

Ho fatto vedere come l'implicazione "se A allora B" in logica classica sia la stessa cosa che "non-A oppure B" (oppure nel senso della disgiunzione classica), ossia che l'implicazione classica si può definire a partire dalla disgiunzione classica e dalla negazione classica.

Ho mostrato anche ( e lo riprenderò questo tema all'inizio della prossima lezione) come l'alternativa classica e la equivalenza classica si possano definire a partire dalla congiunzione classica, dalla disgiunzione classica e dalla negazione classica.

Decima lezione: le regole caratteristiche della logica classica, le definizione dei connettivi classici

La regola della conseguenza mirabile e la regola dell' "a fortiori" sono le regole caratteristiche della logica classica, nel senso che usare tale regole costringe ad accettare che le proposizioni siano BIT immutabili e dunque ad accettare la concezione della logica classica.

Come ho detto ad alcuni studenti nell'intervallo e dopo la lezione, la premessa della regola della conseguenza mirabile (avere una dimostrazione di una proposizione A dalla sua negazione) obbliga a riconoscere che quella proposizione A è vera perché non può essere falsa (infatti la scoperta della falsità di A - ossia la scoperta della verità della sua negazione - porterebbe alla scoperta della verità di A, il che è impossibile).

Ricordo le principali nozioni sui connettivi in logica classica, trattate oggi:

- la concezione estensionale dei connettivi
- la concezione vero-funzionale dei connettivi,
- i quattro modi in cui possono essere due proposizioni classiche
- la tabella della congiunzione classica
- la tabella della disgiunzione classica (la disgiunzione nel senso di  vel)
- la tabella della alternativa classica (la disgiunzione nel senso di aut)

Nona lezione: la negazione classica, i principi e le regole fondamentali della logica

Questo post si riferisce alla lezione tenuta ieri pomeriggio, 21 ottobre.

I temi centrali della lezione sono stati:

a) la nozione di negazione classica

b) cos'è in logica classica una dimostrazione da ipotesi (qualcosa che permette di ottenere la verità della conclusione dalla verità dell'ipotesi, e la falsità della ipotesi dalla falsità della conclusione; qualcosa che permette di dire che la negazione dell'ipotesi e la conclusione non possono essere entrambe false; qualcosa che perente di dire che deve essere vera una di queste due proposizioni, la negazione dell'ipotesi e la conclusione);

c) il principio fondamentale della logica classica: data una proposizione e la sua negazione, dalla refutazione di una delle due si ottiene la dimostrazione dell'altra, dalla falsità di una delle due si ottiene la verità dell'altra);

d) tre letture importanti di quello stesso principio, letture che spesso sono considerati (erroneamente) principi diversi:
- il principio di non contraddizione: data una proposizione e la sua negazione, esse non possono essere entrambe vere (si potrebbe anche formulare dicendo: data una proposizione e la sua negazione, esse non possono essere entrambe false);
- il principio del terzo escluso: data una proposizione e la sua negazione, una delle due è vera (si potrebbe anche esprimere dicendo: data una proposizione e la sua negazione, una delle due è falsa);
- il principio di identità:  se A allora A (ossia, se A è vera allora A è vera); principio che si potrebbe anche esprimere dicendo: se A è falsa allora A è falsa.

e) la regola del modus ponens

f) la regola del modus tollens

g) la regola di transitività

h) l'osservazione che le tre regole precedenti - regole che dicono come si usano le dimostrazioni da ipotesi - sono casi particolari di una regola generale, chiomata regola del taglio (sulla quale tornerò nella lezione di oggi).

Ottava lezione: proposizioni, dimostrazioni e refutazioni in logica classica.

Nella prossima lezione riprenderò il discorso sulla negazione classica (e spiegherò che la negazione classica di una proposizione classica è il duale logico di quella proposizione, quando intendiamo proposizioni, dimostrazioni e refutazioni  secondo la loro concezione classica, ossia secondo la loro concezione entro la logica classica).

La lezione di oggi ha introdotto la concezione classica delle proposizioni, delle dimostrazioni e delle refutazioni:
- una proposizione è un bit immutabile -- dove bit è qualcosa che può stare in uno e uno solo fra due stati diversi, uno stato 1 e uno stato 0  --- una concezione che è "estensionale, bivalente, spaziale e a-temporale"
- una dimostrazione di una proposizione A è qualcosa che fa scoprire che "A è 1" (che "A è vera"),
- una refutazione di una proposizione A è qualcosa che fa scoprire che "A è 0" (che "A è falsa").

Pertanto, una dimostrazione di A dall'ipotesi B è qualcosa che permette di passare dalla (scoperta della) verità dell'ipotesi B alla (scoperta della) verità della conclusione A e permette di passare dalla (scoperta della) falsità  della conclusione A alla (scoperta della) falsità della ipotesi B.

Consiglio di svolgere gli esercizi indicati nel volume.

Chiarimenti?

Settima lezione: strategie - macchine - reti, organizzazione assiomatica delle discipline

Riassumo alcuni temi della lezione di oggi.

Una strategia è caratterizzata dal suo obiettivo (una strategia per calcolare una operazione viene chiamata "programma" o "algoritmo", una strategia per accertare una proprietà o una relazione viene chiamata "test"), deve essere sempre qualcosa di finito e di concreto (ad esempio, un programma per una operazione deve permette di ottenere il valore dell'operazione per un suo argomento in un numero finito di passi e mediante atti concreti), può essere sequenziale (ossia eseguibile da un solo soggetto, da una Macchina) o non-sequenziale (ossia eseguibile solo con la presenza di più soggetto, ossia solo da Reti di Macchine).

L'organizzazione assiomatica di una disciplina consiste nel trovare un numero finito (il più piccolo possibile) di proposizioni accettate nella disciplina e di concetti capiti nella disciplina, tali che:
- usando quelle proposizioni come ipotesi,  mediante dimostrazioni logiche, si possono ottenere come conclusioni tutte le altre proposizioni accettate nella disciplina  
- partendo da quei concetti,  mediante definizioni logiche, si possono ottenere tutti gli altri concetti della disciplina.

Le proposizioni di una disciplina dalle quali si ottengono tutte le altre proposizioni accettate della disciplina mediante dimostrazioni logiche sono chiamate "Assiomi della disciplina"; i concetti di una disciplina dai quali si ottengono tutti gli altri concetti della disciplina mediante definizioni logiche sono chiamati "Concetti fondamentali o basilari della disciplina".

Quindi l'organizzazione assiomatica di una disciplina consiste nel trovare un numero finito (il più piccolo possibile) di Assiomi e di Concetti basilari di quella disciplina.

Domani farò alcuni esempi di discipline organizzate assiomaticamente: per il momento consiglio di riferirsi alla geometria.

Sono pronto a rispondere a vostre domande!

Sesta lezione: classi e operazioni

Il post si riferisce alla lezione tenuta ieri pomeriggio, martedì 14 ottobre.

Consiglio di considerare esempi delle principali proposizioni che si possono fare, in ogni disciplina, su due classi:

- la classe X è inclusa nella (è parte della) classe Y
- la classe X è disgiunta dalla classe Y
- la classe X ha elementi in comune con la classe Y
- la classe X ha elementi esterni alla classe Y.

Consiglio inoltre di
- considerare casi di classi finite che sono singoletti , coppie, triple, quadruple, ...
- considerare casi di classi finite ordinate che sono coppie ordinate, triple ordinate, quadruple ordinate
- riflettere sugli alberi finiti presentati a lezione (e riportati nel volume), e sui cammini in tali alberi.

Consiglio infine di considerare particolari operazioni, individuando per ciascuna di esse il dominio e il condominio.

Questioni?
Commenti?
Chiarimenti?

Quinta lezione: dualità e dimostrazioni da ipotesi, comunicazione tra dimostrazioni (e tra processi), classi

I punti salienti della lezione di oggi:

a) ogni dimostrazione di A da B è anche una dimostrazione del duale logico di B dal duale logico di A: lo stesso oggetto che è una dimostrazione la cui conclusione è A e la cui ipotesi è B può essere "visto" come una dimostrazione la cui conclusione è il duale logico di B e la cui ipotesi è il duale logico di A;

b) si ha comunicazione tra due processi (o tra due dimostrazioni) quando i due processi sono distinti e uno dei due ha come output (conclusione) ciò che l'altro ha come input (ipotesi), ossia quando uno dei due "produce" ciò che l'altro "attende":

c) nella comunicazione tra due dimostrazioni (e nella comunicazione tra processi economici) il ruolo attivo non è giocato esclusivamente da una sola delle due ma da entrambe;

d) le classi contengono (come "elementi", "membri") oggetti, e  un  oggetto è ciò che può essere elemento di una classe. Le proposizioni più semplici sulle classi hanno la forma " l'oggetto x appartiene alla classe X"  (che può essere anche espressa dicendo "l'oggetto x è elemento (è membro) della classe X") e "l'oggetto x non appartiene alla classe X" (che può essere anche espressa dicendo "l'oggetto x non è elemento alla classe X" o "l'elemento x è esterno alla classe X").

Commenti?

Domande?

Chiarimenti?

Quarta lezione: dibattiti, proposizioni duali, proposizioni logicamente duali

Consiglio di evidenziare, considerando uno più dibattiti presi in una particolare disciplina o nella vita comune, gli aspetti che devono caratterizzare i dibattiti:
- la presenza di almeno 2 soggetti (uno che inizia nel ruolo di proponente, l'altro che inizia nel ruolo di proponente, con possibile scambio di ruolo nel corso del dibattito)
- l'avvio con una proposizione proposta dal proponente, e dalla successiva risposta dell'opponente con una proposizione che la contraddittoria di quella proposta dal proponente
- l'alternanza di mosse (una da parte dei uno dei due soggetti e l'altra da parte dell'altro soggetto) , nel corso del dibattito,
- la possibile presenza di una strategia
- la possibile conclusione attraverso la sospensione, l'abbandono o la vittoria di uno dei suoi soggetto con la simultanea sconfitta dell'altro.

Consiglio anche di considerare coppie di proposizioni che sono duali sotto due spunti di vista alternativi,  e coppie di proposizioni che sono logicamente duali .

Si deve ricordare che

- due proposizioni sono logicamente duali quando le dimostrazioni di una sono le refutazioni dell'altra e le refutazioni di una sono le dimostrazioni dell'altra;
- data una proposizione A, c'è una sola proposizione che è logicamente duale ad A , e questa proposizione viene chiamata "il duale logico di A" o "la negazione di A" o "la contraddittoria di A".

Ci sono domande?

Commenti?

Terza lezione: dimostrazioni da ipotesi, processi con input e output

La dimostrazione da ipotesi, illustrata nella lezione, è  quella che ha come conclusione la proposizione
"La cultura non è in crisi"

e come ipotesi la congiunzione delle seguenti proposizioni:

1, La cultura interessa e piace.
2. Tutto ciò che non viene apprezzato, viene emarginato e viene ignorato.
3. Tutto ciò che viene finanziato, si sviluppa e non è in crisi.
4. La maleducazione non viene apprezzata e non interessa.
5. Tutto ciò che piace, viene apprezzato e viene finanziato.

Questa  dimostrazione da ipotesi "presentata dall'alto verso il basso" procede come segue:

- Si suppone l'ipotesi.
- Dall'ipotesi segue 1, e pertanto segue "La cultura piace".
- Da questa proposizione e dalla proposizione 5 (che segue dall'ipotesi), segue "La cultura viene apprezzata e viene finanziata" e pertanto segue "La cultura viene finanziata".
- Da questa proposizione e dalla proposizione 3 (che segue dall'ipotesi) segue "La cultura si sviluppa e non è in crisi", da cui segue "La cultura non è in crisi".

I passaggi della dimostrazione sono scanditi dal verbo "segue",  e dire che  una proposizione C segue da una proposizione D  è dire che ogni dimostrazione di D produce una dimostrazione di C e ogni refutazione di C produce una refutazione di D. Pertanto, ogni dimostrazione dell'ipotesi produce una dimostrazione della conclusione "La cultura non è in crisi", e ogni refutazione della conclusione "La cultura non è in crisi" produce una refutazione della ipotesi.

La stessa dimostrazione da ipotesi "presentata dal basso verso l'alto" procede come segue:

- Si considera  "La cultura non è in crisi".
- Tale proposizione è ricondotta alla proposizione  "La cultura si sviluppa e non è in crisi" che a sua volta  è ricondotta alla proposizione 3 (e quindi all'ipotesi) e alla proposizione "La cultura viene finanziata".
- Questa proposizione  è ricondotta a "La cultura viene apprezzata e viene finanziata", proposizione  che viene a sua volta ricondotta alla proposizione 5 e alla proposizione "La cultura piace"
- Questa proposizione viene ricondotta alla proposizione 1, e dunque all'ipotesi.

I passaggi della dimostrazione sono scanditi dal verbo "è ricondotta", e dire che una proposizione D  è ricondotta ad una proposizione C  è dire che ogni refutazione di D produce una refutazione di D e ogni dimostrazione di C produce una dimostrazione di D. Pertanto ogni refutazione della conclusione "La cultura non è in crisi" produce una refutazione dell'ipotesi, e ogni dimostrazione dell'ipotesi produce una dimostrazione di "La cultura non è in crisi".

La dimostrazione da ipotsi ora considerata è una dimostrazione logica: poiché tutti i suoi passaggi (vedi il libro) sono applicazioni di "regole logiche", ossia di regole che concernono concetti logici (nel caso considerato, regole sulla congiunzione e sul quantificatore universale "ogni").

Questa dimostrazione da ipotesi - come ogni dimostrazione da ipotesi - è un processo che può essere descritto in due maniere:
-  come un processo che ha come input una dimostrazione della ipotesi e come output una dimostrazione della conclusione
-come  un processo che ha come input una refutazione della conclusione e come output una refutazione della ipotesi.

Le dimostrazioni da ipotesi sono particolari processi, e anzi sono un importante modello dei processi.

Processi che possono avere - come le dimostrazioni da ipotesi - due descrizioni sono quelli commerciali: il processo che ha come input "pagare 1 € " e come output "acquistare un caffè" è lo stesso processo che ha come input "vendere un caffè" e come output "incassare 1 €".

Seconda lezione: dimostrazione, refutazione, dimostrazione da ipotesi

Alcuni punti trattati nella lezione:
- cos'è (o meglio: cosa deve permettere di fare) una dimostrazione:
- cos'è (o meglio: cosa deve permettere di fare) una refutazione
- cos'è (o meglio: cosa deve permettere di fare) una dimostrazione da ipotesi.

è bene considerare una proposizione e domandarsi:
- come dovrebbero essere fatte le sue dimostrazioni?
- come dovrebbero essere fatte le sue refutazioni?

Le regole di ogni singola disciplina stabiliscono come devono essere fatte le dimostrazioni e le refutazioni delle proposizioni di quella disciplina che sono prive di concetti logici.

Ci si può rendere conto che, se nella proposizione ci sono concetti logici, allora  le sue dimostrazioni e le sue refutazioni devono essere fatte secondo regole logiche che riguardano i concetti logici presenti nella proposizione.

Ad esempio, se una proposizione è la congiunzione di due proposizioni (ossia se la proposizione è della forma "A e B"), allora una possibile dimostrazione di essa deve essere una coppia di proposizioni costituita da una dimostrazione di A e da una dimostrazione di B.

L'esempio di una semplice  dimostrazione da ipotesi, fornito nella lezione, è stato:
Ipotesi: la proposizione: "Giovanni è studenti del corso di logica e tutti gli studenti del corso di logica passano l'esame"
Conclusione : la proposizione "Giovanni passa l'esame"


Infatti : noi siamo in grado di trasformare immediatamente ogni dimostrazione della ipotesi in una dimostrazione della conclusione, e di trasformare ogni refutazione della conclusione in una refutazione della ipotesi.

Questa dimostrazione da ipotesi è semplice perché passa immediatamente dalla ipotesi dalla conclusione, usando una regola generale logica che dice:
da una ipotesi della forma "a è V , e ogni cosa che è V è anche W" si passa immediatamente alla conclusione "a è W"


Nella prossima lezione si tratteranno "dimostrazioni da ipotesi" un po' più complicate...

Prima lezione : i temi della logica

La logica si occupa di

dimostrazioni
refutazioni
dibattiti

classificazioni

programmi e macchine

organizzazione delle conoscenze

perché si tratta di attività che si compiono in tutte le branche della nostra conoscenza (e le "discipline" sono branche della nostra conoscenza).


Un utile esercizio è quello di riflettere su queste attività nelle discipline alle quali siamo più interessati (ad esempio, in giurisprudenza, in economia, in storia, in matematica, ecc.).


La logica si occupa di proposizioni, perché esse sono presenti in tutte le branche della nostra conoscenza.

Mostrare proposizioni che sono linguisticamente differenti ma logicamente uguali, perché si comportano nella stessa maniera nelle dimostrazioni, nelle refutazioni e nei dibattiti.

La logica si occupa anche di

negazione ("non")
congiunzione ("e")
disgiunzione ("o")
implicazione ("se ... allora...")
quantificazione universale ("ogni")
quantificazione particolare (qualche")
...

perché si tratta di concetti che sono presenti nelle proposizioni di tutte le branche della nostra conoscenza, e dunque sono "concetti logici".

(vedere il testo pagg. 3-4)

Un utile esercizio è quello di individuare altri "concetti logici" presenti nelle proposizioni che comunemente facciamo.

Domande?

Obiezioni?

Osservazioni?